31 Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν
 ἀναλογίαν. Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ Γ∠, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον
 τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ
 ∠, καὶ τῇ τὰ Β ∠ ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃήσθω ἡ
 ΒΖ, καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ∠Α ὀρθὴν
 περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΒΕ ΕΑ
 τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ ∠ Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή. καὶ
 ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠, καὶ διὰ
 τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν
 εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ∠Β, ἡ Β∠ πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ
 ἡ Β∠ ἴση τῇ ΒΖ.