15 κε΄. Τὸ δʼ ἐπὶ πᾶσι θεώρημα κϚ΄ πρότασιν ἔχει καὶ ἀπόδειξιν τοιαύτην. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ἢ πλείους οἱ Α Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἄλλοι ἀριθμοὶ ὁσοιδήποτε οἱ Γ ∠ Ε, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Ζ Η Θ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Η Θ στερεὸν εἰπεῖν.

Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β Γ ∠ Ε πυθμένες οἱ Λ Μ Ν Ξ Ο. ὁ δὴ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ τῶν Γ ∠ Ε ἁπλοῦ ἀριθμοῦ ἤτοι μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἢ οὔ.

1. ἐπὶ B Wa, ἐπεὶ AS τὰς ἑκατὸν Hu (ἑκατὸν Wa) pro χιλιας (sine acc. A) 3. κδ A1 in marg. (S), κε΄ B 3. 4. τῶν μὲν Α Β ἑκάτερος Hu, ὁ μὲν πρῶτος AB1S, ὁ, μὲν β΄ B4, ὁ μὲν πρῶτος καὶ ὁ δεύτερος ΑΒ Wa, ὁ μὲν πρῶτος Α ἐλασσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, ὁ δὲ δεύτερος Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, ἕκαστος cet. Nesselmann Algebra der Griechen p. 129 5. Γ ∠ Ε sic hoc loco recte distincta sunt in AS 6. ἔστω del. Hu 7—9. ΑΒ — ΘΚ — ΘΚΓ ∠Ε — ΑΒ Γ∠Ε et similiter posthac ABS 8. ἔστω Wa pro ἔσται 9. στερεὸς om. Wa ἑκατὸν Wa pro χιλίοις 10—14. μονάδων ubique S, μ A, μ΄ vel μο-

Μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ, καὶ ὑποτετάχθωσαν τοῖς μὲν Α Β ἑκατοντάδες αἱ Π Ρ, τοῖς δὲ Γ ∠ Ε δεκάδες αἱ Σ Τ Υ καὶ ὁ διπλάσιος ἄρα τοῦ πλήθους τῶν Π Ρ μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Σ Τ Υ μετρεῖται ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ. καὶ φανερὸν ὅτι ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεῷ. εἰλήφθω δὴ ὁ ἐκ τῶν Α Μ Ν Ξ Ο Ζ Η Θ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Φ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Κ ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Φ. τοῦτο δὲ γραμμικῶς Ἀπολλώνιος ἀπέδειξεν.