15 κε΄. Τὸ δʼ ἐπὶ πᾶσι θεώρημα κϚ΄ πρότασιν ἔχει καὶ ἀπόδειξιν τοιαύτην.
 Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ἢ πλείους οἱ Α Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος
 μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἄλλοι ἀριθμοὶ ὁσοιδήποτε οἱ Γ
 ∠ Ε, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος
 δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Ζ Η Θ, ὧν
 ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Η Θ
 στερεὸν εἰπεῖν. Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β Γ ∠ Ε πυθμένες οἱ Λ Μ Ν Ξ Ο. ὁ δὴ
 διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ τῶν Γ ∠ Ε ἁπλοῦ ἀριθμοῦ
 ἤτοι μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἢ οὔ. 1. ἐπὶ B Wa, ἐπεὶ AS τὰς ἑκατὸν Hu (ἑκατὸν Wa) pro
 χιλιας (sine acc. A) 3. κδ A1 in marg. (S), κε΄ B 3. 4. τῶν μὲν Α Β
 ἑκάτερος Hu, ὁ μὲν πρῶτος AB1S, ὁ, μὲν β΄ B4, ὁ μὲν πρῶτος καὶ ὁ
 δεύτερος ΑΒ Wa, ὁ μὲν πρῶτος Α ἐλασσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ
 ἑκατοντάδος, ὁ δὲ δεύτερος Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ
 δεκάδος, ἕκαστος cet. Nesselmann Algebra der Griechen p. 129 5. Γ
 ∠ Ε sic hoc loco recte distincta sunt in AS 6. ἔστω del. Hu 7—9.
 ΑΒ — ΘΚ — ΘΚΓ ∠Ε — ΑΒ Γ∠Ε et similiter posthac ABS 8. ἔστω
 Wa pro ἔσται 9. στερεὸς om. Wa ἑκατὸν Wa pro χιλίοις 10—14. μονάδων
 ubique S, μ A, μ΄ vel μο- Μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ, καὶ ὑποτετάχθωσαν τοῖς μὲν Α
 Β ἑκατοντάδες αἱ Π Ρ, τοῖς δὲ Γ ∠ Ε δεκάδες αἱ Σ Τ Υ καὶ ὁ
 διπλάσιος ἄρα τοῦ πλήθους τῶν Π Ρ μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Σ Τ Υ
 μετρεῖται ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ . καὶ φανερὸν ὅτι ὁ ἐκ τῶν
 Π Ρ Σ Τ Υ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α
 Β Γ ∠ Ε στερεῷ. εἰλήφθω δὴ ὁ ἐκ τῶν Α Μ Ν Ξ Ο Ζ Η Θ στερεὸς καὶ
 ἔστω ὁ Φ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν
 τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Κ ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Φ. τοῦτο δὲ γραμμικῶς
 Ἀπολλώνιος ἀπέδειξεν.