ὡς ἅπαξ θʹ, ἡ δ’ ἑτερότης ἐπεὶ παρὰ τὴν δυάδα ἐστὶν εὐλόγως καὶ οἱ ἀπὸ διαφόρων ἀριθμῶν ἀλλήλους πολυπλασιασάντων γενόμενοι διαφόρους καὶ τὰς πλευρὰς ἕξουσιν ἀντιφωνούσας κατὰ τὰ τῶν γνωμόνων μεγέθη, καὶ ὁ τοιοῦτος προμήκης κεκλήσεται. τοῦ σαφοῦς δὲ ἕνεκα τὸ μὲν ποσάκις μετρεῖν αὐτοῖς κατὰ τὴν τῶν ἀπὸ τριάδος ἐπ’ ἄπειρον περισσῶν ἔκθεσιν φανήσεται, τὸ δὲ πόσους διαλείποντας κατὰ τὴν τῶν ἀπὸ δυάδος ἀρτίων (σύμβολον καὶ τοῦτο τῆς τῶν δύο εἰδῶν τοῦ ἀριθμοῦ ἀιδιότητός τε καὶ φιλαλληλίας, εἰ καὶ ἐναντία δοκεῖ καθάπερ δεξιὰ ἀριστερῷ καὶ ὁμοίως συλληπτικὰ ἀλλήλοις) ἢ νὴ Δία κατὰ τὴν 〈τῆς〉 χώρας ἑκάστου διπλασίασιν, καθ’ ἣν ὁ μετρῶν τέτακται. οἱ μὲν οὖν. ὑπὸ τῶν μετρήσεων τούτων σημανθέντες δεύτεροι δηλονότι καὶ σύνθετοι, κοινὸν δ’ αὐτῶν μέτρον τὸ ἐπελθὸν αὐτοῖς· οἱ δὲ παραλειπόμενοι ὥσπερ τὰ διὰ κοσκίνου ἔκβολα πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι. κἀνταῦθα δὲ ὁ Εὐκλείδης προδηλότατον ἀμάρτημα πάσχει τὴν δυάδα τῶν πρώτων καὶ ἀσυνθέτων οἰόμενος εἶναι, ἐπεὶ μονάδι μόνῃ μέτρῳ χρῆται, ἐκλελησμένος ὅτι ἡ μὲν τοῦ ἀρτίου εἴδους ἐστίν, ὅτι μέντοι περισσοειδὴς ἵνα δυνάμει τοὺς λόγους τῶν ὁμογενῶν ἀρτιάκις ἀρτίων καὶ ἀρτιοπερίσσων τρόπῳ σπερματικῷ, καθάπερ ἡ μονάς ἁπάντων ἁπλῶς· οἱ δὲ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι καθ’ ὑποδιαίρεσιν τοῦ περισσοῦ εἴδους μόνου ὤφθησαν, ἀλλ’ οὐ καὶ τοῦ ἀρτίου. ἕτερον γοῦν ἄρτιον οὐκ ἂν δύναιτο προχειρίσαι οὐδὲ ἐπιταθείς, οὕτω φύσει τοῦ τοιούτου ἀπηλλάχθαι θάτερον τοῦ ἀριθμοῦ εἶδος, ὥσπερ καὶ τὸ λοιπὸν τῶν αὐτοῦ ὑποδιαιρέσεων ἀρτιάκις ἀρτίου τε καὶ ἀρτιοπερίσσου καὶ περισσαρτίου. ἀλλὰ καὶ αὐτὴ ἡ δυὰς ὡς ἂν στοιχειώδης οὖσα καὶ σπερματικὴ οὐ μετέχει τρανῶς τῶν ὑποδιαιρέσεων τούτων καίτοι τούτου τοῦ γένους ἄρχουσα αὐτοῖς, καθάπερ ἀμέλει καὶ ἐπὶ ἄλλων αἱ ἀρχαὶ πολλῶν οὐ μετέχουσιν ὧν ἐξ ἀνάγκης τοῖς συγκρίμασι μέτεστιν, ὥσπερ σημείῳ τὰ γραμμῇ συμβεβηκότα οὐκ ἐνθεωρεῖται καὶ τὰ διαστήματι φθόγγῳ καὶ τὰ ἀναλογίᾳ λόγῳ καὶ τὰ σωματικὰ ὕλῃ καὶ εἴδει καὶ τὰ πολλῶν ἑτέρων συστημάτων φαρμάκων τε καὶ μιγμάτων ἑκάστων προέχει στοιχείων. Πάλιν δὲ ἐξ ὑπαρχῆς τοῦ ἀρτίου ἀριθμοῦ καθ’ ἑαυτὸν καὶ παντάπασιν ἀπηλλαγμένου τῆς πρὸς τὸν περισσὸν κἀνταῦθα ἐπιπλοκῆς τὸ μέν ἐστιν ὑπερτελὲς τὸ δὲ ἐλλιπὲς ἐναντία ἀλλήλοις, κοινὸν δ’ αὐτῶν καὶ οἱονεὶ μεσότης τὸ λεγόμενον τέλειον διαφέρον κατά τι ἀμφοῖν καὶ πάλιν ἀμφοῖν κατά τι μετέχον. ὑπερτελὲς μὲν οὖν ἐστιν ὅταν ἄρτιος ἀριθμὸς πάντα τὰ αὑτοῦ μέρη συντεθέντα πλείονα ἀποδίδωσιν αὐτοῦ καὶ ὑπερπαίοντα τῇ ποσότητι· διὰ τοῦτο γὰρ καὶ οὕτως ὠνόμασται, ὡς πλημμελής τις ὢν καὶ πλεομελὴς καὶ πλεονέκτης, τεταγμένος ἐν τῷ οἷον ἀδικεῖν καὶ πλέον τι τοῦ ἐπιβάλλοντος αὐτῷ ἔχειν, ὡς εἴ τινι πλέονες δάκτυλοι ἐν μιᾷ χειρὶ ἢ ἐν ποδὶ εἶεν. ἐλλιπὲς δὲ ὅταν ὁμοίως ἄρτιος ἀριθμὸς τοῖς ἑαυτοῦ πᾶσι μέρεσι συντεθεὶς συγκρινόμενος μείζων φαίνηται, τὰ δὲ μέρη ἐλάττονα ἑαυτοῦ ποιῇ, διὸ καὶ οὕτως ὠνόμασται, ἐστερημένος μερῶν τῶν εἰς συμπλήρωσιν αὐτοῦ προσηκόντων ὡσανεὶ πλεονεκτούμενός τις ἐν τῷ ἀδικεῖσθαι καὶ μὴ ἀπειληφέναι τὰ ἴδια, ὡς εἴ τις ἄγλωσσος εἴη ἢ μονόχειρ. ὑπόδειγμα τοῦ μὲν προτέρου ὅ τε ιβʹ καὶ οἱ τούτου ἐπ’ ἄπειρον πολυπλάσιοι καὶ ὁ ιηʹ καὶ ὁ κʹ καὶ ἄλλοι πολλοὶ τοιοῦτοι, τοῦ δὲ δευτέρου ὅ τε ηʹ καὶ ὁ ιʹ καὶ ὁ ιδʹ καὶ οἱ ὅμοιοι. Τέλειον δέ ἐστιν ὃ τούτων μέσον θεωρεῖται καὶ οὔτε πλέονα ὡς τὸ ὑπερτελὲς οὔτε ἔλασσονα ὡς τὸ ἐλλιπὲς τὰ μέρη ἑαυτοῦ συντεθέντα ἔχει, ἀλλὰ τὰ ἀνὰ μέσον τοῦ τε μείζονος καὶ τοῦ ἐλάσσονος, ὅπερ ἐστὶν ἴσα, ὡς ἂν δικαιότητί τινι καὶ τῶν ἰδίων καὶ προσηκόντων ἀπολήψει. συνᾴδει δὲ τὰ τοιαῦτα παραδείγματα τῷ τὰς ἀρετὰς ὀρθῶς νομίζεσθαι μετριότητάς τινας καὶ μεσότητας ὑπερβολῆς καὶ ἐλλείψεως, ἀλλ’ οὐκ ἀκρότητας, ὥς τινες ὑπέλαβον εἶναι, καὶ ἀντικεῖσθαι μὲν κακὸν κακῷ, συναμφότερα δ’ ἑνὶ ἀγαθῷ, ἀγαθὸν δὲ ἀγαθῷ μηκέτι, ἀλλὰ δυσὶν ἅμα κακοῖς, ὥσπερ δειλίαν θρασύτητι ὧν κοινὸν ἀνανδρία συναμφότερα δὲ ἀνδρείᾳ, καὶ πανουργίαν ἠλιθιότητι ὧν κοινὸν ἀφροσύνη συναμφότερα δὲ φρονήσει, καὶ ἀσωτίαν φιλαργυρίᾳ ὧν κοινὸν ἀνελευθερία συναμφότερα δὲ ἐλευθεριότητι, καὶ κατάπληξιν ἀναισχυντίᾳ ὧν κοινὸν ἀναίδεια συναμφότερα δὲ αἰδοῖ, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἀρετῶν τε καὶ ἀστείων ἕξεων τὸ ἀνάλογον τηροῦσιν ἡμῖν ἀναφανήσεται, καθάπερ καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ ἀνίσου σχέσεως δειχθήσεται μειζονότης ἐλαττονότητι ὧν κοινὸν ἀνισότης 〈συναμφότερα δὲ〉 τῇ ἰσότητι. τοῦ δὴ οὖν τελείου διὰ τὸ τοιοῦτον ἡ σπανιότης, ὥσπερ ἀγαθοῦ τινος καὶ οὐχὶ πολύχου ὄντος κακοῦ, ἕνα μὲν ἐν μονάσιν ἡμῖν μόνον, τουτέστιν ἐντὸς δεκάδος, ἕνα δὲ μόνον ἐν δεκάσι, τουτέστι πρὸ τοῦ εἰς*** ἑκατοντάσιν, καὶ ἕνα μόνον ἐν χιλιάσι παρέξει φυσικῷ νόμῳ.