πάλιν ἡ ιδʹ τῆς ιʹ καὶ δʹ, ἡ δὲ ιηʹ τῆς ιδʹ καὶ δʹ, ἡ δὲ κβʹ τῆς ιηʹ καὶ δʹ, καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως κατὰ τὸ βάθος καὶ τὸ πλάτος ἑκάστης τῶν πολυγώνων διαγραφῆς ἐφαρμόζοντες ἀνάλογα εὑρήσομεν, ὅτι ἑκάστη πυραμὶς σύστημά ἐστι τῆς ὑπὲρ αὐτὴν καὶ τῆς ὑπ’ ἐκείνην· πρῶτον γὰρ οὐδὲν εἶτα παράπαξ εἰς ἐπίπεδον εἶτα παρὰ δὶς εἶτα παρὰ τρὶς καὶ ἐφεξῆς. καὶ τὰ ἄλλα κατὰ ταὐτὰ ἀναλόγως συμπτώματα καὶ περὶ ταύτας εὑρήσομεν. καὶ ἐν μὲν πλάτει διοίσουσιν ἀλλήλων ἰδίαις βάσεσιν, ἐν δὲ βάθει μετὰ τὸν ἰσότητι στίχον εὐθυγραμμικῶς ἐκκείμενον τετρὰς ἔσται ἡ διαφορὰ στοιχεῖον οὖσα πυραμίδων ἐνεργείᾳ, εἶτα δεκὰς ἡ δευτέρα πυραμίς, εἶτα εἰκοσὰς ἡ τρίτη πυραμὶς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως. ἐὰν δέ τις πυραμὶς μὴ ἐπὶ μονάδα κορυφῶται, ἀλλ’ ἐπὶ τὸν παρ’ αὐτῇ γνώμονα, κόλουρος καλεῖται· ἐὰν δὲ μηδὲ ἐπ’ ἐκεῖνον, ἀλλ’ ἐπὶ τὸν ἑξῆς, δικόλουρος, καὶ ὁμοίως τρικόλουρος καὶ τετρακόλουρος καὶ ἀεὶ ἀκολούθως ὀνομασθήσεται κατὰ τὴν ποσότητα τῶν ἀφαιρουμένων γνωμόνων. ἰδιώματα δὲ καὶ κύβων πολλὰ εὑρήσομεν ὥσπερ καὶ τῶν τετραγώνων· καὶ γὰρ ἑκάστου ἀριθμοῦ τῶν ἀπὸ μονάδος ἑαυτὸν πολλαπλασιάσαντος καὶ τὸν ἐξ αὐτοῦ γίνονται εὔτακτοι κύβοι. καὶ εἰ τάξει οἱ ἀπὸ τετράδος τετράγωνοι τάξει τοὺς ἀπὸ δυάδος ἐφεξῆς ἀριθμοὺς ἑκάστους ἕκαστον μηκύνῃ ἢ ὑπὸ ἑκάστου μηκύνοιτο, ὁμοίως γενήσονται εὔτακτοι κύβοι. ἔτι οἱ περισσοὶ ἐπειδὴ ἔτι ὁμοποιοί εἰσι καὶ τῆς αὐτοῦ φύσεως, ὡς ἐδείχθη, εἰ συντιθοῖντο κατ’ ἐκλογὰς ἀεὶ προσθέσει ἑνός, φύσονται κύβοι· οἷον αʹ πρῶτον ὁ δυνάμει κύβος ἀσύνθετος, εἶτα δύο περισσοὶ γʹ εʹ ὁ ηʹ κύβος δεύτερος, εἶτα τρεῖς περισσοὶ ζʹ θʹ ιαʹ 〈ὁ κζʹ〉 τρίτος κύβος, εἶτα τέσσαρες ιγʹ ιεʹ ιζʹ ιθʹ ὁ ξδʹ τέταρτος κύβος, καὶ ἐπὶ τῶν ἐφεξῆς ὁμοίως. πάλιν ἐν τῇ τῶν ἀναλόγων ἐκθέσει οἱ μὲν τρίτοι τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ τέταρτοι κύβοι, οἱ δὲ ζοι κύβοι ἅμα καὶ τετράγωνοι. πᾶς δὲ κύβος τῇ ἑαυτοῦ πλευρᾷ αὐξηθεὶς τετράγωνον ποιεῖ, ὃς ἔσται τοσουτοπλάσιος τοῦ κύβου ὁσαπλάσιος ἔσται καὶ ὁ ἀπὸ τῆς κυβικῆς πλευρᾶς τετράγωνος αὐτῆς τῆς πλευρᾶς, ὁ δὲ τετράγωνος πλευρὰ καὶ αὐτὸς ἔσται τετραγωνικὴ τοῦ γενομένου ἔκ τε τοῦ κύβου καὶ τῆς αὐτοῦ πλευρᾶς. πάλιν ὡς ἐκ δύο τετραγώνων μηκυνάντων ἀλλήλους τετράγωνος ἐγένετο, οὕτως ἐκ δύο κύβων κύβος, ἐκ δὲ κύβου ἑαυτὸν λαβόντος κύβος ἅμα καὶ τετράγωνος. καὶ ἐν τοῖς ἀνάλογον ἐὰν ὁ μὲν μετὰ μονάδα κύβος ᾖ, καὶ οἱ λοιποὶ κύβοι ἔσονται· καὶ τεσσάρων ἀνάλογον ὄντων, ἐὰν ὁ πρῶτος κύβος ᾖ, καὶ ὁ τέταρτος ἔσται κύβος, ἢ καὶ μετροῦντος κύβου κύβον, καὶ πλευρὰ πλευρὰν μετρήσει. καὶ σχεδὸν τὰ συμβεβηκότα πάντα τετραγώνοις ἀναλόγως ἐνοραθήσεται καὶ τοῖς κύβοις. ἐπιτρέψαντες οὖν τοῖς δι’ αὑτῶν φιλοκαλήσουσι τὴν τῶν τοιούτων συμπτωμάτων ἀνεύρεσιν, ἐπὶ τὸν περὶ ἀναλογιῶν μεταβησόμεθα τόπον. Ἡ τοίνυν ἀναλογία λόγων ἐστὶ πλειόνων ὁμοιότης καὶ ταυτότης. τί δέ ποτ’ ἐστὶ λόγος ὁ κατ’ ἀναλογίαν, ἐπεὶ πολλαχῶς ὁ λόγος, ἐν τοῖς πρόσθεν διεσαφήσαμεν ὅτι δυεῖν ὅρων ὁμογενῶν ἡ πρὸς ἀλλήλους ἐστὶ σχέσις. ὁμογενῶν δὲ πρόσκειται, διότι τὰ ὑπὸ ταὐτὸ γένος συγκρίνειν προσῆκεν, οἷον μνᾶν πρὸς τάλαντον, ὧν κοινὸν γένος τὸ βάρος, καὶ γραμμὴν πρὸς ἐπιφάνειαν ἢ στερεόν· κοινὸν γὰρ αὐτῶν τὸ μέγεθος. ἔστι δέ τινα καὶ κατὰ δύναμιν καὶ κατὰ ὄγκον καὶ ἄλλα τινὰ γένη συγκρινόμενα. τὰ δὲ ἀνομογενῆ πῶς ἔχει πρὸς ἄλληλα οὐ δυνατὸν εἰδέναι, οἷον πῆχυς πρὸς κοτύλην, πρὸς χοίνικα τὸ λευκόν. ἓν δὲ γένος ἐστὶ καὶ τὸ ποσὸν καὶ ποσοῦ ὁ ἀριθμός, ὥστε γενήσεται καὶ τῶν ἐν ἀριθμῷ λόγων ἡ σύγκρισις, ἔσται αὐτῶν λόγος τις καὶ σχέσις ποιά. κἂν μὲν ἐν ἰσότητι ὧσιν οἱ ὅροι, ἴσου πρὸς ἴσον ἐστὶ λόγος· ἀδιάφορος γὰρ ἡ ἰσότης· ἐν δὲ ἀνισότητι κατὰ διαφοράν. καὶ διάστημα μὲν οὐ ταὐτὸ ἔσται καὶ ὁ λόγος διττὸς καὶ ὅτι καὶ τὸ ἄνισον δύο καὶ οὐχ ἓν καὶ διάστημα μὲν ταὐτὸν ἔσται, λόγος δὲ ἕτερος· τοῦ γὰρ δύο πρὸς ἓν καὶ τοῦ ἑνὸς πρὸς δύο διάστημα μὲν ταὐτόν, λόγος δὲ διπλάσιός τε καὶ ἥμισυς, ὥστε ἕτερον λόγον εἶναι διαστήματος· καὶ γὰρ ἐπὶ πλείοσιν ὅροις, λόγου πολλάκις τοῦ αὐτοῦ ὄντος, διάστημα ἕτερόν ἐστιν, ὡς ἐπὶ τῶν δʹ ϛʹ θʹ. ὅτι δὲ ὁ τῆς ἀνισότητος λόγος ἐν δέκα γένεσίν ἐστι, καὶ πέντε μὲν προλόγοις κατὰ τὸ μεῖζον, ὑπολόγοις δὲ τοῖς ἴσοις κατὰ τὸ ἔλαττον, καὶ ὅτι ἀπὸ ἰσότητος πάντες τὴν γένεσιν ἔχουσιν, ἐμάθομεν ἔμπροσθεν ἐν τῷ περὶ τῶν σχέσεων τόπῳ. ἔστι δέ τις καὶ ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν λόγος αὐτῷ λεγόμενος, διὰ τὸ μηδενὶ ὑποπίπτειν τῶν δέκα γενῶν, ὡς ἐπιδειχθήσεται ἐν τοῖς ἁρμονικοῖς, ὁ τοῦ λείμματος λόγος ἐν ὅροις ἐν τοῖς σνϛʹ πρὸς σμγʹ. τῶν οὖν ἐν ἀριθμοῖς λόγων τοιούτων τινῶν ὄντων ἡ ἀναλογία σύλληψις ἔσται πλειόνων ἐν ὁμοιότητι λόγων ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις· λέγεται γὰρ λόγος συνῆφθαι, ὅταν κοινὸς ὅρος ᾖ μέσος πρὸς ἑκάτερον τῶν ἄκρων λόγον ἔχων· ὁ γὰρ κοινὸς ὅρος τοῦ λόγου συνάπτει. διεζεῦχθαι δὲ λέγεται λόγος λόγου, ὅταν μὴ ἔχωσι κοινὸν ὅρον. τοῦτο δὲ ἐν τέτταρσιν ὅροις γίνεται, διὸ καὶ δοκεῖ τὸ ἀνάλογον τῆς ἀναλογίας διαφέρειν· τὸ μὲν γὰρ ἀνάλογον καὶ ἐν διεζευγμένοις ὅροις γίνεται, ἡ δὲ ἀναλογία κυρίως ἐπὶ τῶν κοινὸν ἐχόντων ὅρον τάττεται.