μὴ διακρινόμενος αὐτοῦ 〈τὸν〉 προμήκη, ὅπερ εἰ συγχωρήσειέ τις αὐτῷ, συμβήσεται τὰ ἐναντία ἀσυνύπαρκτα φύσει ὄντα ἅμα καὶ περὶ τὸ αὐτὸ εὑρίσκεσθαι· τὸν αὐτὸν γὰρ ἀριθμὸν τετράγωνον ἀλλὰ καὶ ἑτερομήκη ἀποφαίνει ὁ ἐκείνου λόγος, οἷον τὸν λϛʹ καὶ τὸν ιϛʹ καὶ ἑτέρους πολλούς, ὅπερ ἴσον ἂν εἴη τῷ τὸν περισσὸν ἀριθμὸν ταὐτὸν εἶναι τῷ ἀρτίῳ. εἰ δέ γε ἐκεῖνοι ἀπ’ αὐτῆς τῆς φύσεως καὶ οὐχ ἡμῶν θεμένων εἷς παρ’ ἕνα διευτακτοῦνται καὶ οὐκ ἄν ποτε συγγυθεῖεν, οὕτως τετράγωνοι καὶ ἑτερομήκεις φυσικώτατοι καὶ αὐτοὶ εὐταξίᾳ χρήσονται ὡς ἂν ἀπ’ ἐκείνων τὴν πλάσιν ἔχοντες καὶ διακόσμησιν, ἡγουμένης καὶ ἀρχούσης τῶν μὲν περισσῶν μονάδος, δυάδος δὲ τῶν ἀρτίων· ἐκ μὲν γὰρ τῶν αʹ γʹ εʹ ζʹ θʹ ιαʹ ιγʹ ιεʹ ιζʹ ιθʹ καὶ ἐφοσονοῦν συντιθεμένων, γίνονται τετράγωνοι οἱ αʹ δʹ θʹ ιϛʹ κεʹ λϛʹ μθʹ ξδʹ παʹ ρʹ· ἐκ δὲ τῶν βʹ δʹ ϛʹ ηʹ ιʹ ιβʹ ιδʹ ιϛʹ ιηʹ κʹ ἑτερομήκεις οἱ βʹ ϛʹ ιβʹ κʹ λʹ μβʹ νϛʹ οβʹ ҁʹ ριʹ. καὶ οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι πλευρὰς ἕξουσι τοὺς ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς ἀριθμούς, οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι ἔγγιστα, τουτέστι παρὰ μονάδα τοὺς ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς σύνδυο, κατὰ τὸν συνημμένον τρόπον ἐκλεγομένους,

ἵνα καὶ αἱ πλευραὶ μονάδι ἀλλήλων διαφέρωσιν. ἐν μὲν οὖν τῇ τῶν τετραγώνων γενέσει ἡ μονὰς τὴν αἰτίαν ἀποφέρεται τῆς συστάσεως· ἔν τε γὰρ τῇ τῶν γνωμόνων περιθέσει αὕτη ἐστὶν ἡ προϋφισταμένη, ἄνευ δὲ αὐτῆς καθ’ αὐτοὺς τῶν περισσῶν ἡ ἐπισύνθεσις οὐκ ἂν γεννήσειε τετραγώνους, ἔν τε τῇ κατὰ τὸν λεγόμενον δίαυλον ἐπισωρείᾳ τῶν ἐφεξῆς ἀριθμῶν παρέχει ἑαυτὴν ἡ μονὰς ὕσπληγά τε καὶ νύσσαν καθ’ ἑκάστην ἐπισύνθεσιν· ἀπ’ αὐτῆς τε γὰρ ἡ τῆς προβάσεως ἀρχὴ γίνεται κατὰ τὴν γένεσιν ἑκάστου τετραγώνου, ὡς ἀπὸ ὕσπληγος μέχρι ὡσανεὶ καμπτῆρος τῆς τοῦ ἀποτελεσθησομένου πλευρᾶς, καὶ πάλιν ἐπ’ αὐτὴν ἡ ἐπάνοδος ὡς ἐπί τινα νύσσαν, κατὰ διαφόρησιν πάντων τῶν ἀριθμῶν καὶ αὐτῆς, πλὴν τοῦ καμπτῆρος, ὅπερ καὶ πλευρὰ ἔσται τοῦ κατ’ αὐτὸν τετραγώνου. οὕτως γὰρ καὶ συμβήσεται ἕκαστον τῶν ἀριθμῶν μέχρις ἑαυτοῦ τὴν ἀπὸ μονάδος πρόβασιν ἀναδεχόμενον καὶ ἀπ’ αὐτοῦ τὴν ἀνάκρουσιν τῆς παλινδρομίας ὡς ἐπὶ μονάδα ποιούμενον πλευρὰν τετραγωνικὴν ὑπάρχειν, τὸν μὲν δύο πλευρὰν τοῦ

τέτταρα τετραγώνου· αʹ γὰρ καὶ δύο καὶ ἐξ ὑποστροφῆς πάλιν ὁ αʹ, ὁ δʹ γίνεται τετράγωνος. τὸν δὲ γʹ τοῦ θʹ· αʹ γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ ἐξ ὑποστροφῆς βʹ καὶ αʹ, ὁ θʹ τετράγωνος. τὸν δὲ τέταρτον δʹ τοῦ ιϛʹ· αʹ γὰρ καὶ βʹ γʹ δʹ 〈καὶ ἐξ ὑποστροφῆς γʹ βʹ αʹ, ὁ ιϛʹ τετράγωνος〉. καὶ μέχρι ὅσου τις θέλει διελεγχέτω, εὕροι ἂν πάντας μὲν τοὺς ἐντὸς τοῦ ὑστάτου ἀριθμοῦ, ὅς ἐστι πλευρὰ τοῦ τετραγώνου, διαφορουμένους ἐν τῇ συνθέσει κατά τε τὴν ἀπὸ μονάδος πρόοδον καὶ τὴν εἰς αὐτὴν ἐπάνοδον· μόνον δὲ τὸν πλευρικὸν ἀδιαφόρητον, καὶ ἀρχῆς τε ἅμα καὶ τέλους καὶ πρὸς τούτοις μεσότητος λόγον ἔχοντα, ἀρχῆς μὲν διότι ἀπ’ αὐτοῦ ἡ ἐπάνοδος εἰς μονάδα, τέλους· δὲ διότι ἐπ’ αὐτὸν ἡ πρόοδος ἀπὸ μονάδος, μεσότητος δὲ διότι ὁρίζει τήν τε πρόοδον καὶ ἐπάνοδον, ὡσανεὶ καμπτὴρ ὑπάρχων, καὶ μή τι διὰ τοῦτο δύναμίς ἐστιν αὐτοῦ τὸ πᾶν συγκεφαλαίωμα τῶν ἐπισυντιθεμένων ἀριθμῶν κατά τε πρόοδον καὶ ἐπάνοδον, ἐπειδὴ ὥσπερ ἐν ἀκροπόλει μόνος τεταγμένος δορυφορεῖται ὡς ὑπὸ δυνάμεως τῶν λοιπῶν ἀριθμῶν κατὰ πρόβασιν. ἐν δὲ τῇ τῶν ἑτερομηκῶν

συστάσει εἴτε γνωμονικῶς δέοι περιτιθέναι τινὶ τὴν ἐπισωρείαν τῶν ἀρτίων, ἡ δυὰς μόνη φανήσεται ἀναδεχομένη καὶ ὑπομένουσα τὴν περίθεσιν, ἄνευ δὲ αὐτῆς οὐ φύσονται ἑτερομήκεις· εἴτε κατὰ τὸν αὐτὸν δίαυλον οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοὶ συνσωρεύοιντο, ἡ μὲν μονὰς ὡς ἂν ἀρχὴ οὖσα πάντων κατὰ τὸν Φιλόλαον (οὐ γὰρ ἕν φησιν ἀρχὰ πάντων) καὶ τοῖς ἑτερομήκεσιν εἰς γένεσιν ὕσπληγα ὁμοίως ἑαυτὴν παρέξει, οὐκέτι δὲ καὶ νύσσα ἔσται τῆς καθ’ ὑποστροφὴν παλινδρομίας καὶ ἐπανόδου, ἀλλὰ τὸ τοιοῦτον ἡ δυὰς ἀντ’ αὐτῆς ὑποστήσεται· ταύτης γὰρ αὐτῆς ἔσται ἡ ἐπάνοδος. ἔοικε δὲ ἡ μὲν ἀπὸ μονάδος πρόοδος μέχρι τῶν πλευρικῶν δύο ἀριθμῶν, οἵπερ καμπτήρων λόγον ἕξουσιν ἐπὶ τῶν ἑτερομηκῶν γενέσει προϊούσῃ ἀπὸ τῆς κοινῆς πάντων ἀρχῆς ὡσανεὶ ἐπ’ ἀκμὴν αὐτοὺς τοὺς καμπτῆρας, ἡ δὲ ἀπὸ τούτων ἐπάνοδος ὥσπερ τις ἀνάλυσις οὖσα καὶ παρακμὴ φθορᾷ, διόπερ εὐλόγως εἰς μὲν σύστασιν καὶ αὐτῶν τῶν ἑτερομηκῶν ὡς ἂν εἴδους λόγον ἔχουσα ἡ μονὰς ἑαυτὴν ἐπιδώσει, εἰς δὲ ἀνάλυσιν καὶ ὡσανεὶ φθορὰν οὐκέτι, ἀλλὰ εἰς δυάδα ὕλης λόγον ἔχουσαν καταστρέψει, ὥσπερ ὁρῶμεν καὶ ἐπὶ τῶν φυσικῶν τὰ ἐν γενέσει πάντα τὸ μὲν γίνεσθαι καὶ τόδε τι εἶναι καὶ ἕν εἶναι ἕκαστον ἔχοντα παρὰ τὸ εἶδος, τὸ δὲ φθείρεσθαι

καὶ μὴ εἶναι ἀλλὰ ἀοριστεῖν παρὰ τὴν ὕλην· εἴδους γὰρ καὶ μορφῆς στερόμενον τὸ τόδε τι ὕλη ἂν εἴη ἀόριστος καὶ ἄποσος καὶ ἄποιος, διὰ τὴν τῆς δυάδος ἀοριστίαν καὶ ἀνισότητα. διὰ τοῦτο ἰδίως τῶν ἑτερομηκῶν εἰδοποιὸς ἡ δυὰς ἐφάνη οὖσα καὶ τῆς ἰδίας δυνάμεως αὐτοῖς κατὰ τὰς πλευρὰς μεταδιδοῦσα, τουτέστι τῆς ἀνισότητος· δύο γὰρ τὸ ἄνισον, ὑπεροχὴ καὶ ἔλλειψις· ἡ δὲ μονὰς τῶν τετραγώνων, διόπερ καὶ ἰσάκις ἴσοι· ἀρχὴ γὰρ τῶν ἴσων τὸ ἓν καὶ ἡ μονάς, εἴ γε τὸ ἴσον ἓν πρὸς ἕν ἐστι, καὶ τὰ ἴσα καθ’ ἕνα λόγον ἐστὶν ἴσα. δῆλον οὖν ὅτι ἀναλόγως ἐξ εἴδους καὶ ὕλης τὰ ἐν κόσμῳ πάντα συνέστη καὶ γίνεται, ὡς ἐκ μονάδος καὶ δυάδος τὰ ἐν ἀριθμῷ συμπτώματα πάντα. πρώτως μὲν γὰρ εἰδοποιὸς ἑκατέρα ἡ ἀρχὴ τῶν δύο μηκῶν τοῦ ἀριθμοῦ, ἀρτίου λέγω καὶ περισσοῦ, δευτέρως δὲ ἡ μὲν τετραγώνων ἡ δὲ ἑτερομηκῶν, καὶ οὐκ ἐπαλλάττουσιν αἱ δυνάμεις αὐτῶν, ἀλλ’ ἐναντιώταται οὖσαι κατὰ τὸν ἴδιον λόγον ἑκατέρα διατίθησι τὰ μετίσχοντα αὐτῶν· ὡς γὰρ τὸ θερμὸν