Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν.

1 Ϡ] ↑ M, τ WVN. item im seqq. 2 λγ et α M2. 3 numeri M2. 4 μα M2. Ϡ] ψ W. 6 αυ M2. 7 M1 hebet reliquias figurae | α | β | γ | δ | ε | ζ | η. post διπλά- σιος add. W: ια ιβ ιγ ιδ ιε ιζ ιη. om. fig. M2N. 8 διὰ M2. Hannc figuram habet N, om. numeros M2. 11 ὂν M4. ὢν M1N. 12 ἢ] ἡ M. 16 ἶσα Meibom. 18 ἐστι πολλαπλάσιον et q. seq. — prot. 18 incl. om. W. alia manus ad mg. scribit λείπει ὧδε. 19 ια V, ιβ M2, om. N. nec iam sequuntur protaseon numeri in codd. Figura vera in apud prot. 6, M2 om.14 οὐδεὶς ἀν. ἐμπ. prot. 3. 17 συντεθέντα ποιεῖ ππλαο. prot. 2.

Ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὁ α, μέση δὲ ὁ β, ὑπάτη δὲ μέσων ὁ γ. τὸ ἄρα α διάστημα δὶς διὰ τεσσάρων ὂν ἐστὶ διάφωνον· οὐκ ἄρα γ ἐστὶ πολλαπλάσιον. ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα β ἶσα τὰ αβ β γ συντεθέντα τὸ ὅλον μὴ α ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ αβ ἐστὶ πολλαπλάσιον. καὶ ἔστι σύμφωνον· ἐπιμόριον ἄρα. ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ ισ ιβ θ τοῦ διὰ πέντε. (p. 33.)

Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι διπλάσιον.

Ἐδείξαμεν γὰρ αὐτὸ πολλαπλάσιον. οὐκοῦν ἤτοι διπλάσιόν ἐστιν — ἢ μεῖζον ἢ διπλάσιον. ἀλλʼ ἐπεὶ ἐδείξαμεν τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων συγκείμενον, ὥστε εἰ ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖζον διπλασίου, οὐ συγκείσεται ἐκ δύο μόνων ἐπι- μορίων, ἀλλʼ ἐκ πλειόνων, — σύγκειται δὲ ἐκ δύο συμφώνων διαστημάτων, ἐκ τε τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων· οὐκ ἄρα ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖζον διπλασίου. διπλάσιον ἄρα.

Ἀλλʼ ἐπειδὴ τὸ διὰ πασῶν ἐστι διπλάσιον, τὸ δὲ διπλάσιον ἐκ τῶν μεγίστων ἐπιμορίων δύο συνέστηκε, καὶ τὸ διὰ πασῶν ἄρα ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου σννέστηκε, ταῦτα γὰρ μέγιστα. συνέστηκε δὲ ἐκ τοῦ 2 δὶς M2 supra. 3 ὂν M2 ex ὢν. 10 12. Libri om et numeros et partium signa, pergunt in linea. 11 αὐτὸ] αὐτῶ M. 22 καὶ τὸ διὰ π. — 23 γὰρ μέγιστα om. Porph. 23 δὲ Porph., γὰρ libri Eucl. post δὲ ἐκ insert τε M4. 3 οὐκ ἄρα ππλασ. p. 149, 21. 5 μὴ ποιεῖ ππλάσ. prot. 5. 11 ἐδείξαμεν prot. 10. 13 ἐδείξαμεν prot. 6, ac- cedit Comm. in Ptol. p. 274, 13. 16 πλειόνων prot. 7. 21 συνέ- στηκε prot. 6. διὰ πέντε καὶ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων, ὄντων ἐπιμορίων· τὸ μὲν ἄρα διὰ πέντε, ἐπειδὴ μεῖζόν ἐστιν, ἡμιόλιον ἂν εἴη, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον.

Φανερὸν δὴ, ὅτι καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ διὰ πασῶν τριπλάσιόν ἐστιν. ἐδείξαμεν γὰρ, ὅτι ἐκ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται, ὥστε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ διὰ πέντε τριπλάσιον.

Τὸ δὲ δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιόν ἐστιν.

Ἀποδέδεικται ἄρα τῶν συμφώνων ἕκαστον, ἐν τίσι λόγοις (p. 34) ἔχει τοὺς περιέχοντας φθόγγους πρὸς ἀλλήλους.

Λοιπὸν δὴ περὶ τοῦ τονιαίου διαστήματος διελθεῖν, ὅτι ἐστὶν ἐπόγδοον.

Ἐμάθομεν γὰρ, ὅτι ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον. ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε τὸ διὰ τεσσάρων ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν τονιαῖόν ἐστι διάστημα· τὸ ἄρα τονιαῖον διάστημά ἐστιν ἐπόγδοον.

Τὸ διὰ πασῶν ἔλαττον ἢ ἓξ τόνων.

Δέδεικται γὰρ τὸ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιον, ὁ δὲ 3 ἐπὶ τρίτον N. (4 δὴ cf. Eucl. El. VII 36 med. lI 262, 24 Hb.], δὲ Porpb). 10 post ἄρα add. ὅτι M2. ἕκαστον] ασ corr. M2. 11 λόνοις M, λόγοις V. 13 δὴ ego cum B et Porph., δὲ NU, δεῖ M, cf. mira illa δὴ in Eucl. Elem. 7, 2 et 36 (p 192 et 262 H) 8, 4 (282). 10, 3 (282). 14 ἐπόγδοον] δ ras. M. 15 ἐὰν μὲν N (M ras.), ἐάν ἐστιν V, om. μὲν Porph. 20 ἔλαττόν ἐστιν ἢ NM3. 1 ἐπιμορίων prot. 11. 5 ἐδείξαμεν prot. 7. 15 ἐμά- θομεν prot. 8. 21 δέδεικται prot. 12 et 13. τόνος ἐπόγδοος· τὰ δὲ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονα διαστήματός ἐστι διπλασίου. τὸ ἄρα διὰ πασῶν ἔλαττόν ἐστιν ἓξ τόνων.

Τὸ διὰ τεσσάρων ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου, καὶ τὸ διὰ πέντε ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου.

Ἔστω γὰρ νήτη μὲν διεζευγμένων ὁ β, παραμέση δὲ ὁ γ, μέση δὲ ὁ δ, (p. 35) ὑπάτη δὲ μέσων ὁ ζ. οὐκοῦν τὸ μὲν γδ δ διάστημα τόνος ἐστὶ, τὸ δὲ βζ, διὰ πασῶν ὂν, ἔλαττον ἓξ τόνων. τὰ λοιπὰ ἄρα, τό τε β καὶ τὸ δ ἶσα ὄντα ἐλάττονά ἐστι πέντε τόνων. ὥστε τὸ ἐν τῷ βγ ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ τεσσάρων, τὸ δὲ βδ ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ πέντε.