δ΄.

Τῶν ἴσων διαστημάτων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων τὰ ἐκ πλείονος ἀποστήματος ὁρώμενα ἐλάττω φαίνεται.

ἔστω γὰρ ἴσα τὰ ΒΓ, Γ∠, ∠Ζ, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ Κ Β, ΚΓ, Κ∠, ΚΖ ἡ δὲ ΚΒ πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῇ Β Ζ. ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΚΒΖ ἴσαι εἰσὶν αἰ ΒΓ, Γ∠, ∠ Ζ, μείζων ἐστὶν ἡ μὲν Ε γωνία τῆς Η γωνίας, ἡ δὲ Η γωνία τῆς Θ γωνίας. μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ μὲν ΒΓ τοῦ Γ∠, τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ∠Ζ.

ε΄.

Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα ἄνισα φαίνεται, καὶ μεῖζον αἰεὶ τὸ ἔγγιον τοῦ ὄμματος κείμενον.

1. Γ∠ — 2. τό] add. m. 2 v. 2. φημὶ δή] λέγω v. 7. πρός — 8. ὁρᾶται] om. p. 8. ἐκείνω v, sed corr 10. γενομένου v, V, sed corr. m. rec. 13 διαστημάτων] μεγεθῶν m. rec. V. 16. Post ἴσα add μεγέθη m. rec. V. 22. Post

ἔστω γὰρ ἴσον τὸ Γ∠ τῷ ΚΛ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ Β∠, ΒΛ, ΒΚ, ΒΓ. οὐκοῦν τὸ Γ∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρᾶται ἤπερ τὸ ΚΛ· μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Γ∠ τοῦ ΚΛ.

Ϛ΄.

Τὰ παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται.

ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ∠ Ζ παράλληλον διάστημα, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ. λέγω, ὅτι τὰ ΒΓ, ∠Ζ ἀνισοπλατῆ φαίνεται, καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον διάστημα τοῦ πορρώτερον.

προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΞ, ΚΛ, ΚΠ, ΚΝ, ΚΒ, Κ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΞΛ, ΠΝ, Β∠. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΚΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΚΝ γωνίας, μείζων ἄρα φαίνεται καὶ ἡ ΞΛ εὐθεῖα τῆς ΠΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΝ εὐθεῖα μείζων φαίνεται τῆς Β∠ εὐθείας. οὐκέτι οὖν ὀφθήσεται παράλληλα τὰ διαστήματα, ἀλλʼ εἰς ἔλαττον καὶ ἀνισοπλατῆ. τὰ ἄρα παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται.

οὕτω μέν, εἰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ ὄμμα τῷ ὁρωμένῳ κέοιτο, εἰ δὲ μετεωρότερον εἴη τὸ ὄμμα, οὕτως.

ἔστω γὰρ τὸ Κ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΚΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὴν Ζ Λ ἡ ΑΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο, καὶ προσπιπτέτωσαν 10. ∠Ζ] Ζ corr. in E m. rec. V. 11. Ante ὄμμα add. τὰ δὲ παράλληλα τὰ ΞΛ, ΠΝ, Β∠ V. 12. ἔγγειον V. 14. ΚΞ] Ξ corr. in Ζ m. rec. V; item lin. 15, 16, 17. 16. μεῖζον v. ΞΚΛ] ΞΛ v. γωνία] in ras. v. ὑπό (alt.)] ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΗ, ΚΖ, Κ∠, ΚΝ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΜ, ΚΞ, ΚΟ. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μετεωροτέρου τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Μ ἐπέζευκται ἡ ΚΜ, κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΜΛ. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ Κ Ξ ἐπὶ τὴν ΗΝ, ἡ δὲ ΚΟ ἐπὶ τὴν Β∠. ὀρθογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΚΜΛ, ΚΞΝ, ΚΟ∠ τρίγωνα. καί ἐστιν ἡ μὲν ΞΝ τῇ ΜΛ ἴση· παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΜΜ ἑκατέρα δὲ τῶν ΞΚ, ΚΝ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΜΚ, ΚΛ. μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ. μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται καὶ τὸ ΜΛ τοῦ ΞΝ ὁμοίως καὶ τὸ ΖΜ τοῦ ΗΞ. ὥστε καὶ ὅλη ἡ Ζ Λ ὅλης τῆς ΗΝ μείζων φαίνεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΜ τῆς Β∠. ἀνισοπλατῆ ἄρα καὶ οὕτω φαίνεται τὰ μεγέθη.

ζ΄.

Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα ἴσα μεγέθη πορρωτέρω ἀλλήλων τεθέντα ἄνισα φαίνεται.

ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ. ∠Ζ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Κ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΒ, ΚΓ, Κ∠, ΚΖ ὀρθὴ δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ ΚΖ Β γωνία. οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ Σ γωνία τῆς Φ. ὥστε καὶ ἡ ∠ Ζ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ. ἄνισα ἄρα φαίνεται τὰ Β ∠ Ζ μεγέθη.

2. ΚΞ] corr ex ΚΖ m. rec V 3. Ante κάθετος add. ἡ ΚΜ m. rec. V, idem post ἐστίν (lin. 4) m. 2 v. 4. ΜΛ] supra scr. Ζ m. 2 v. 6. ἐστί ] ἐστίν V v. 8 μεῖζον v. 9. μεῖζον v, corr. m 2. 10. μεῖζον — 11. ΗΞ] om V v. 11. Ζ Μ] ΞΝ p ΗΞ] ΠΞ p. 13. καὶ ὅτῳ] om. V v. 14. τὰ μεγέθη] om. V; καὶ οὕτω τὰ μεγέθη add m. rec. 17. Supra. ἀλλήλων add. μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις m. 2 v. Post τεθέντα add. καὶ ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος m. 2 v. 21. μεῖζον v.22. μεῖζον v. 23. Post μεγέθη add. τὰ ἄρα ἴσα μεγέθη τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα πορρώτερον ἀλλήλων τεθέντα ἄνισα φαίνεται m. rec. V

η΄.

Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα οὐκ ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασιν ὁρᾶται.

ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ∠Ζ ἴσον καὶ κείσθω αὐτῷ παράλληλον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΖΓ, ΚΒ, Κ∠, ὧν ἡ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΒ ἔστω. φημὶ δή, ὅτι οὐκ ἀναλόγως φανήσεται τὰ ΒΓ, ∠ μεγέθη τοῖς ΓΚ, ΚΖ διαστήμασιν.

ἐπεὶ γὰρ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΖΚ, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΘΚ ὥστε καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΖ ἐστι μείζων. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΚ κύκλος γραφόμενος ὑπερπεσεῖται τὴν Κ Ζ. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ Θ∠Κ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΘΕΚ τομέα ἤπερ τὸ ΖΘ τρίγωνον πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα, ἐναλλὰξ ἄρα τὸ Θ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΘΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. συνθέντι ἄρα τὸ Ζ ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἧπερ ὁ ΕΗΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. ἀλλʼ ὡς τὸ Ζ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ, ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ∠ΚΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΘΚΖ. ἐν μείζονι λόγῳ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΘ ἤπερ ἡ Σ, Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν. ὡς δὲ ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ἡ ΚΓ ἄρα πρὸς τὴν ΚΖ ἐν μείζονι λόγῳ ἐστὶν ἤπερ ἡ Σ, Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν. καὶ ἐκ μὲν τῆς Σ Ρ γωνίας τὸ ∠Ζ ὁρᾶται, ἐκ δὲ τῆς Ρ γωνίας 2. ἄνισον] καὶ ἄνισον v; supra add καὶ παράλληλα m rec V, παράλληλα m. 2 v Supra οὐκ add ἀπὸ τῶν ὀμμάτων m. 2 v. 3 ἀποστήμασιν] corr. in διαστήμασιν m rec. V. τὸ ΒΓ. οὐκ ἀνάλογον ἄρα τοῖς ἀποστήμασι τὰ ἴσα μεγέθη ὁρᾶται.