λθ΄.

Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου καὶ μεθίστηται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ ὄμμα, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον.

ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῷ ἐπιπέδῳ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ὁ Β∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται τὸ ΑΒ μέγεθος, ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ὀφθήσεται τὸ ΑΒ. καὶ γὰρ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν ΒΓ γωνίαν ὀρθήν, πᾶσαι δὲ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν εὐθεῖαι ἴσας γωνίας ποιοῦσιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται μέγεθος.

ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, καὶ μετακινῆται τὸ ὁρώμενον μέγεθος κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας παράλληλον ὂν τῇ εὐθείᾳ, ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.

1. λθ΄] om. v, μηʹ V, μϚ΄ Vat. m. 2. 4. μεθίσταται Vat., corr. m. 2. 5 ἀεὶ ἴσον Vat. v. 10. κέντρον v. 11. δὲ τῷ] corr. ex δὲ τό m. 2 V. ΓΒ] ΒΓ Vat.1 m. 12. ὁ] ἡ Vat. v. 13. τῆς] om. v. τοῦ] om. Vat., corr. in τῆς v.

μ΄.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἴσον ὂν τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ποτὲ μὲν ἴσον ἑαυτῷ, ποτὲ δὲ ἄνισον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον.

ἔστω κύκλος ὁ Α∠, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἐφεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ∠Ζ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ ∠Ζ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται, ποτὲ ἴση φανήσεται, ποτὲ μείζων, ποτὲ ἐλάσσων. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Ε, ὅ ἐστι κέντρον, τῇ ∠ παράλληλος ἡ ΓΕ, καὶ ἔστω ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΕΓ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ∠Ζ ἴση. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ εὐθεῖαι αἱ Ε∠, ΓΖ, ΓΒ, ΕΒ, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστι καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν. παραλληλόγραμμον 1. μ΄] om. v, μθ΄ V, μζ΄ m. 2 Vat. 3. μεθίσταται Vat., corr. m. 2. δέ] δὲ τῆς Vat. 7. Α∠] inter ∠ ras. 1 litt. m. 11. ποτὲ μέν m. ἴση] ἴσων V. 12. ποτὲ δέ bis m. 13 κέντρῳ v. 14 ΕΓ] ΓΕ m. 19. ∠Ζ] ∠Ε Vat. 21. ἐλάττων Vat., ἔλαττον v. 22. ΕΒ] supra scr. V (Ε∠ — ΖΕ etiam in mg. m. 1 V, ΓΖ supra scr.). 24. τῇ ΓΒ ἄρα Vat. Av. ἐστιν] ἐστι Vat. Avm. ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ παραλληλόγραμμόν ἐστι καὶ τὸ Ε∠ΖΓ. λείπει δὲ δεῖξαι, ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ αὐτὸ καὶ μεῖζον. φανερὸν δή, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠, ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ κέντρου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠. καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΓΕΑ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΒΕΑ· παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον τὸ ΒΕ· τῆς δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἡ ὑπὸ ΖΕ∠· παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον καὶ τὸ ΖΕ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕ∠. ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ μεγέθους ἔλαττον ὀφθήσεται.

καὶ φανερὸν ἐκ τοῦ προδεδειγμένου λήμματος, ὅτι ἐλάχιστον μὲν ὀφθήσεται πρὸς τῷ Α, μέγιστον δὲ πρὸς τῷ κατὰ διάμετρον τῷ Α σημείῳ, ἴσον δὲ τὸ ἴσον ἀπέχον ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ Α σημείου.

μα΄.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ σημεῖον, καθ᾿ ὃ συμβάλλει τὸ μέγεθος τῷ ἐπιπέδῳ, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ 1. ἐστί] om. m. ΑΕΓΒ] ΑΕΒΓ Vm. 2. παραλληλόγραμμα A, comp. Vat. τὸ Ε∠ΖΓ] mg. m. 2 V. 3. ὅτι] mg. m. 2 V. ἔλαττον Vat., comp. v. 4. ἔλασσον v, comp. Vat. 5. ἐπεί] seq. ras. 2 litt. V, ἐπεὶ οὖν Vat. Av. 6. γωνίαν] ὀρθὴν γωνίαν Vm, ὀρθήν add. m. 2 Vat. 7. ΓΕΑ] ΓΕΑ γωνία m. ἐλάττων Vat., comp. v. ἄρα ἐστί] ἐστὶν ἄρα Vat. Av. 8. ΓΕΑ] Α in ras. V, ΓΕ∠ A; ΓΕΛ v, ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ Γ∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν μεθίστηται τὸ Γ ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται. τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν. πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας προσπίπτουσιν, ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία ὀρθή ἐστιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.

μβ΄.

Τοῦ ὁρωμένου μένοντος, τοῦ δὲ ὄμματος μεθισταμένου κατ᾿ εὐθεῖαν γραμμὴν πλαγίαν πρὸς τὸ ὁρώμενον μέγεθος οὖσαν ποτὲ μὲν ἴσον, ποτὲ δὲ ἄνισον τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

ἔστω ὁρώμενον μὲν τὸ ΑΒ, ~~ὄμμα δὲ τὸ Ε~~ εὐθεῖα δὲ πλαγία ἡ Γ∠, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΒΑ ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΓΑ καὶ συμβαλλέτω τῇ ∠Γ κατὰ τὸ Γ, καὶ μεθιστάσθω ἐπʼ αὐτῆς τὸ ὄμμα. λέγω, ὅτι ποτὲ μὲν ἴσον, ποτὲ δὲ ἄνισον φαίνεται τὸ ΑΒ. εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΓΑ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΕ, καὶ ἔστω ὄμμα τὸ Ε καὶ μετακεκινήσθω καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας κατὰ τὸ ∠. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ε, ∠ ὁρώμενον ἄνισον φαίνεται. ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, 1. κέντρον, corr. m. 2, Vat. A. 2. B] Α Vat. A v. γεγράφθω] ὁ γε γράφθω Vat., sed corr.; ὁ γεγράφθω v. 4. τοῦ] om. v. 7. ἐστι Vat. m v. 10. προσπίπτουσαι v. 11. Β] corr. ex Γ Vat. 13. μβʹ] om. v, να΄ V, μθ΄ m. 2 Vat. 15. τό] τῷ v. 17. φαίνεται τὸ ὁρώμενον m. 18. μέν] om. v. ΕΒ, Α∠, Β∠, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον τμῆμα τὸ ΑΕΒ, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ. ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὰ Β, Α, Ζ, ∠ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΑΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ τῇ ὑπὸ τῶν Α∠, ∠Β ἴση ἐστίν, ἐπειδήπερ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί ἐστιν, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ἄρα τῆς ὑπὸ Α∠Β μείζων ἐστίν. ἀλλ᾿ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ Α∠Β τὸ ΑΒ βλέπεται τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ ∠ ὄντος, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ βλέπεται τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ε ὄντος. ἄνισον ἄρα τὸ ὁρώμενον φαίνεται ἐπὶ τῆς Ε∠ εὐθείας τοῦ ὄμματος μεθισταμένου. φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ΕΓ μεθισταμένου τοῦ ὄμματος ἄνισον τὸ ὁρώμενον φαίνεται καὶ μέγιστον μὲν κατὰ τὴν πρὸς τῷ Ε θέσιν, μεῖζον δὲ ἀεὶ κατὰ τὴν ἐγγύτερον αὐτοῦ ἐφ᾿ ὁποτερασοῦν τῶν Ε∠, ΕΓ εὐθειῶν, ἴσον δὲ κατὰ τὰ Ζ καὶ ∠ καὶ τὰ ὁμοίως αὐτοῖς λαμβανόμενα διὰ τὸ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι εἶναι τὰς γωνίας.

Ἄλλως.

Ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ Κ∠, εὐθεῖα δὲ ἡ ΒΓ συμπίπτουσα τῇ Κ∠ προσεκβαλλομένῃ. εἰλήφθω τῆς Γ∠ καὶ τῆς ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΚ καὶ ἡ Ζ∠, περὶ δὲ τὴν Κ∠ τμῆμα γεγράφθω, ὃ 2. ΑΕΒ corr. ex ΑΕΗ Vat. τῶν] om. m. Γ∠, ∠Β] Γ∠Β m. 3. τῶν] om. m. ΓΑ, ΑΖ] ΓΑΖ m. 4. ἡ ΒΖ] in ras., seq. ras. 2 litt., V, post ras. 3 litt. v. 5. μεῖζον v. 6. τῶν] om. m. Α∠, ∠Β] Α∠Β Vat.1 m. 7. ἐστιν] εἰσι m, ἐστι Vat. v. 8. μεῖζον v. ἐστί v. 9. τὸ ΑΒ] om. codd. βλέπεται τὸ ΑΒ m. τοῦ (alt.)] τό m. 10. ὑπὸ δὲ τῆς] bis V. τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ βλέπεται] om. v. ΑΒ] Α v, Vat., δέχεται τὴν ὑπὸ τῶν ΚΖ∠. ἐφάψεται δὴ τῆς ΒΓ εὐθείας, ἐπειδήπερ ὡς ἡ ΚΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Γ∠. κείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β σημείου, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Β, ΒΚ. ἐπεζεύχθω δὲ ἡ Σ∠. οὐκοῦν ἴση ἡ γωνία τῇ Σ γωνίᾳ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν. καί ἐστιν ἡ Σ τῆς Β γωνίας μείζων· καὶ ἡ Φ ἄρα γωνία τῆς Β μείζων ἐστίν. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος μεῖζον φαίνεται τὸ Κ∠ ἤπερ ἐπὶ τοῦ Β.