ἐὰν τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ 
τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν 
μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει. ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ 
 α, Β , πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν 
οἱ Γ , Δ , ὁ δὲ Α τὸν Β μετρείτω· 
λέγω, ὅτι καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ. 
 
 ὁ Γ γὰρ τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω· οἱ Α , 
Ε, Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν Δ 
 λόγῳ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ μετρεῖ 
ὁ Α τὸν Β , μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α τὸν Ε . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς 
τὸν Ε , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ . πάλιν δὴ ὁ Γ τὸν Δ μετρείτω· λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β 
μετρεῖ. 
 
 τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, 
ὅτι οἱ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς τὸν 
Δ λόγῳ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Α 
πρὸς τὸν Ε , μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ , μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Α 
τὸν Ε . καί εἰσιν οἱ Α , Ε , Β ἑξῆς ἀνάλογον· μετρεῖ ἄρα 
 καὶ ὁ Α τὸν Β . ἐὰν ἄρα τετράγωνος τετράγωνον μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ 
τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν 
μετρῇ, καὶ ὁ τετράγωνος τὸν τετράγωνον μετρήσει· ὅπερ 
ἔδει δεῖξαι. ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἡ πλευρὰ 
τὴν πλευρὰν μετρήσει· καὶ ἐὰν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν 
μετρῇ, καὶ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει. κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον τὸν Β μετρείτω, καὶ 
 τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ , τοῦ δὲ Β ὁ Δ · λέγω, ὅτι ὁ 
Γ τὸν Δ μετρεῖ. ὁ Γ γὰρ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ 
Δ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ Γ 
τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ 
 ποιείτω , ἑκάτερος δὲ 
 τῶν Γ , Δ τὸν Ζ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Θ , Κ 
ποιείτω. φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε , Ζ , 
Η καὶ οἱ Α , Θ , Κ , Β ἑξῆς ἀνάλογόν 
εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς 
τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Θ , 
 κ, Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, καὶ 
μετρεῖ ὁ Α τὸν Β , μετρεῖ ἄρα καὶ 
τὸν Θ . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν 
Θ, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ · μετρεῖ 
ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ . 
 
 ἀλλὰ δὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ · λέγω, ὅτι καὶ ὁ Α τὸν Β 
μετρήσει. τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, 
ὅτι οἱ Α , Θ , Κ , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ τοῦ Γ πρὸς 
τὸν Δ λόγῳ. καὶ ἐπεὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ, καί ἐστιν ὡς 
 ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Θ , καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Θ 
μετρεῖ· ὥστε καὶ τὸν Β μετρεῖ ὁ Α · ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἐὰν τετράγωνος ἀριθμὸς τετράγωνον ἀριθμὸν μὴ 
μετρῇ, οὐδὲ ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ 
πλευρὰ τὴν πλευρὰν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ τετράγωνος τὸν 
τετράγωνον μετρήσει. 
 
 
 ῎ἔστωσαν τετράγωνοι ἀριθμοὶ οἱ Α , 
Β, πλευραὶ δὲ αὐτῶν ἔστωσαν οἱ Γ , 
Δ, καὶ μὴ μετρείτω ὁ Α τὸν Β · λέγω, 
ὅτι οὐδὲ ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ. εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ , μετρήσει 
 καὶ ὁ Α τὸν Β . οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β · οὐδὲ ἄρα 
ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει. μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ · λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α 
τὸν Β μετρήσει. εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Α τὸν Β , μετρήσει καὶ ὁ Γ τὸν Δ . 
 οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ · οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· 
ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἐὰν κύβος ἀριθμὸς κύβον ἀριθμὸν μὴ μετρῇ, οὐδὲ ἡ 
πλευρὰ τὴν πλευρὰν μετρήσει· κἂν ἡ πλευρὰ τὴν πλευρὰν 
μὴ μετρῇ, οὐδὲ ὁ κύβος τὸν κύβον μετρήσει. 
 κύβος γὰρ ἀριθμὸς ὁ Α κύβον 
 ἀριθμὸν τὸν Β μὴ μετρείτω, καὶ 
τοῦ μὲν Α πλευρὰ ἔστω ὁ Γ , τοῦ δὲ 
Β ὁ Δ · λέγω, ὅτι ὁ Γ τὸν Δ οὐ 
μετρήσει. εἰ γὰρ μετρεῖ ὁ Γ τὸν Δ , καὶ ὁ Α τὸν Β μετρήσει. οὐ 
 μετρεῖ δὲ ὁ Α τὸν Β · οὐδʼ ἄρα ὁ Γ τὸν Δ μετρεῖ. ἀλλὰ δὴ μὴ μετρείτω ὁ Γ τὸν Δ · λέγω, ὅτι οὐδὲ ὁ Α 
τὸν Β μετρήσει. εἰ γὰρ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ, καὶ ὁ Γ τὸν Δ μετρήσει. 
οὐ μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Δ · οὐδʼ ἄρα ὁ Α τὸν Β μετρήσει· 
 ὅπερ ἔδει δεῖξαι. δύο ὁμοίων ἐπιπέδων ἀριθμῶν εἷς μέσος ἀνάλογόν 
ἐστιν ἀριθμός· καὶ ὁ ἐπίπεδος πρὸς τὸν ἐπίπεδον διπλασίονα 
λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν 
ὁμόλογον πλευράν. 
 
 ἔστωσαν δύο ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , καὶ 
τοῦ μὲν Α πλευραὶ ἔστωσαν οἱ Γ , Δ ἀριθμοί, τοῦ δὲ Β 
οἱ Ε , Ζ . καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες 
τὰς πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ε 
πρὸς τὸν Ζ . λέγω οὖν, ὅτι τῶν Α , Β εἷς μέσος ἀνάλογόν 
 ἐστιν ἀριθμός, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει 
ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ , τουτέστιν ἤπερ ἡ 
ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ , οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν 
Ζ, ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε , ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ . 
 καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδός ἐστιν ὁ Α , πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ Γ , Δ , 
ὁ Δ ἄρα τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. διὰ 
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. 
ὁ Δ δὴ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω. 
καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν μὲν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, 
 τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα 
ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η . ἀλλʼ ὡς ὁ Γ 
πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ · καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ 
πρὸς τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η . πάλιν, ἐπεὶ ὁ Ε τὸν 
μὲν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ζ 
 πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Δ πρὸς 
τὸν Ζ , οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ Δ πρὸς 
τὸν Ζ , οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Η · καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Η , 
οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Β . οἱ Α , Η , Β ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν 
εἰσιν. τῶν Α , Β ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός. 
 
 λέγω δή, ὅτι καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, 
τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ . ἐπεὶ γὰρ 
οἱ Α , Η , Β ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ὁ Α πρὸς τὸν Β διπλασίονα 
λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Η . καί ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς 
 τὸν Η , οὕτως ὅ τε Γ πρὸς τὸν Ε καὶ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ . καὶ 
ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς 
τὸν Ε ἢ ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι.