ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους 
τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. ἔστωσαν οἱ δοθέντες ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ · 
δεῖ δὴ εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων 
 τοῖς Α , Β , Γ . οἱ Α , Β , Γ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν 
ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν οἱ Α , Β , Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, 
ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. 
 εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν 
 μέτρον ὁ Δ , καὶ ὁσάκις ὁ Δ ἕκαστον τῶν Α , Β , Γ μετρεῖ, 
τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν ἑκάστῳ τῶν Ε , Ζ , Η . καὶ 
 ἕκαστος ἄρα τῶν Ε , Ζ , Η ἕκαστον τῶν Α , Β , Γ μετρεῖ κατὰ 
τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας. οἱ Ε , Ζ , Η ἄρα τοὺς Α , Β , Γ ἰσάκις 
μετροῦσιν· οἱ Ε , Ζ , Η ἄρα τοῖς Α , Β , Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ 
 εἰσίν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστοι. εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε , 
Ζ, Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β , 
Γ, ἔσονται τινες τῶν Ε , Ζ , Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν 
τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς Α , Β , Γ . ἔστωσαν οἱ Θ , Κ , Λ · 
ἰσάκις ἄρα ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ καὶ ἑκάτερος τῶν Κ , Λ 
 ἑκάτερον τῶν Β , Γ . ὁσάκις δὲ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται 
μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Μ · καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν Κ , Λ 
ἑκάτερον τῶν Β , Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας. 
καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ μονάδας, 
καὶ ὁ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μονάδας. διὰ 
 τὰ αὐτὰ δὴ ὁ Μ καὶ ἑκάτερον τῶν Β , Γ μετρεῖ κατὰ τὰς 
ἐν ἑκατέρῳ τῶν Κ , Λ μονάδας· ὁ Μ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ 
μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ ὁ Θ τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Μ 
μονάδας, ὁ Θ ἄρα τὸν Μ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν. 
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ε τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Α 
 πεποίηκεν. ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Ε , Δ τῷ ἐκ τῶν Θ , 
Μ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Θ , οὕτως ὁ Μ πρὸς τὸν Δ . 
μείζων δὲ ὁ Ε τοῦ Θ · μείζων ἄρα καὶ ὁ Μ τοῦ Δ . καὶ μετρεῖ 
τοὺς Α , Β , Γ · ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ὁ Δ 
τῶν Α , Β , Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον. οὐκ ἄρα ἔσονταί 
 τινες τῶν Ε , Ζ , Η ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ 
ὄντες τοῖς Α , Β , Γ . οἱ Ε , Ζ , Η ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν 
τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β , Γ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι. δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν 
ἀριθμόν. ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , Β · δεῖ δὴ 
εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. 
 
 οἱ Α , Β γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. 
ἔστωσαν πρότερον οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ 
ὁ Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Γ ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα 
τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν Γ πεποίηκεν. οἱ Α , Β ἄρα 
τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, 
 μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α , Β ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . 
μετρείτωσαν τὸν Δ . καὶ ὁσάκις ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται 
μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ε , ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, 
τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ Ζ · ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Ε 
πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας 
 τὸν Δ πεποίηκεν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α , 
Ε τῷ ἐκ τῶν Β , Ζ . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως 
ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε . οἱ δὲ Α , Β πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτοι καὶ 
ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον 
ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν 
 ἐλάσσονα· ὁ Β ἄρα τὸν Ε μετρεῖ, ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον. 
καὶ ἐπεὶ ὁ Α τοὺς Β , Ε πολλαπλασιάσας τοὺς Γ , Δ πεποίηκεν, 
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Γ πρὸς 
τὸν Δ . μετρεῖ δὲ ὁ Β τὸν Ε · μετρεῖ ἄρα καὶ ὁ Γ τὸν Δ 
ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα 
 οἱ Α , Β μετροῦσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . ὁ Γ 
ἄρα ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α , Β μετρεῖται. 
 μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α , Β πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ 
εἰλήφθωσαν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον 
ἐχόντων τοῖς Α , Β οἱ Ζ , Ε · ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α , Ε 
 τῷ ἐκ τῶν Β , Ζ . καὶ ὁ Α τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ 
ποιείτω· καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Γ 
πεποίηκεν· οἱ Α , Β ἄρα τὸν Γ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ 
ἐλάχιστον. εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ Α , Β 
ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . μετρείτωσαν τὸν Δ . καὶ ὁσάκις 
 μὲν ὁ Α τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν 
τῷ Η , ὁσάκις δὲ ὁ Β τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες 
ἔστωσαν ἐν τῷ Θ . ὁ μὲν Α ἄρα τὸν Η πολλαπλασιάσας 
τὸν Δ πεποίηκεν, ὁ δὲ Β τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν Δ 
πεποίηκεν. ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α , Η τῷ ἐκ τῶν Β , Θ · 
 ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η . 
ὡς δὲ ὁ Α πρὸς τὸν Β , οὕτως ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε · καὶ ὡς 
ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε , οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η . οἱ δὲ Ζ , 
Ε ἐλάχιστοι, οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν 
λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ 
 ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα· ὁ Ε ἄρα τὸν Η μετρεῖ. καὶ ἐπεὶ 
ὁ Α τοὺς Ε , Η πολλαπλασιάσας τοὺς Γ , Δ πεποίηκεν, 
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Η , οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ . 
ὁ δὲ Ε τὸν Η μετρεῖ· καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων 
τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α , Β 
 μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Γ . ὁ Γ ἄρα 
ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α , Β μετρεῖται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος 
ὑπʼ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει. δύο γὰρ ἀριθμοὶ οἱ Α , Β ἀριθμόν τινα τὸν ΓΔ μετρείτωσαν, 
ἐλάχιστον δὲ τὸν Ε · λέγω, ὅτι καὶ ὁ Ε τὸν ΓΔ 
 μετρεῖ. εἰ γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ , ὁ Ε τὸν ΔΖ μετρῶν 
λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΓΖ . καὶ ἐπεὶ οἱ Α , Β τὸν 
Ε μετροῦσιν, ὁ δὲ Ε τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ οἱ Α , Β ἄρα τὸν 
 ΔΖ μετρήσουσιν. μετροῦσι δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ · καὶ 
 λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσουσιν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε · 
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ Ε τὸν ΓΔ · 
μετρεῖ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν 
ἀριθμόν. ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α , Β , Γ · δεῖ 
δὴ εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. 
 
 εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν Α , Β ἐλάχιστος μετρούμενος 
ὁ Δ . ὁ δὴ Γ τὸν Δ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω 
πρότερον. μετροῦσι δὲ καὶ οἱ Α , Β τὸν Δ · οἱ Α , Β , Γ 
ἄρα τὸν Δ μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. εἰ γὰρ 
μή, μετρήσουσιν τινα ἀριθμὸν οἱ Α , Β , Γ ἐλάσσονα ὄντα 
 τοῦ Δ . μετρείτωσαν τὸν Ε . ἐπεὶ οἱ Α , Β , Γ τὸν Ε μετροῦσιν, 
καὶ οἱ Α , Β ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα 
ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενος τὸν Ε μετρήσει. ἐλάχιστος 
δὲ ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ · ὁ Δ ἄρα τὸν Ε 
μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. 
 οὐκ ἄρα οἱ Α , Β , Γ μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα 
ὄντα τοῦ Δ · οἱ Α , Β , Γ ἄρα ἐλάχιστον τὸν Δ μετροῦσιν. 
 μὴ μετρείτω δὴ πάλιν ὁ Γ τὸν Δ , καὶ εἰλήφθω ὑπὸ 
τῶν Γ , Δ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ Ε . ἐπεὶ οἱ 
Α, Β τὸν Δ μετροῦσιν, ὁ δὲ Δ τὸν Ε μετρεῖ, καὶ οἱ Α , Β 
 ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ 
 τὸν Ε · καὶ οἱ 
Α, Β , Γ ἄρα τὸν Ε μετροῦσιν. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον. 
εἰ γὰρ μή, μετρήσουσί τινα οἱ Α , Β , Γ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ 
Ε. μετρείτωσαν τὸν Ζ . ἐπεὶ οἱ Α , Β , Γ τὸν Ζ μετροῦσιν, 
καὶ οἱ Α , Β ἄρα τὸν Ζ μετροῦσιν· καὶ ὁ ἐλάχιστος ἄρα 
 ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενος τὸν Ζ μετρήσει. ἐλάχιστος 
δὲ ὑπὸ τῶν Α , Β μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ · ὁ Δ ἄρα τὸν Ζ 
μετρεῖ. μετρεῖ δὲ καὶ ὁ Γ τὸν Ζ · οἱ Δ , Γ ἄρα τὸν Ζ 
μετροῦσιν· ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Δ , Γ μετρούμενος 
τὸν Ζ μετρήσει. ὁ δὲ ἐλάχιστος ὑπὸ τῶν Γ , Δ 
 μετρούμενός ἐστιν ὁ Ε · ὁ Ε ἄρα τὸν Ζ μετρεῖ ὁ μείζων 
τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα οἱ Α , Β , Γ 
μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Ε . ὁ Ε ἄρα 
ἐλάχιστος ὢν ὑπὸ τῶν Α , Β , Γ μετρεῖται· ὅπερ ἔδει 
δεῖξαι. ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, ὁ μετρούμενος 
 ὁμώνυμον μέρος ἕξει τῷ μετροῦντι. ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α ὑπό τινος ἀριθμοῦ τοῦ Β μετρείσθω· 
λέγω, ὅτι ὁ Α ὁμώνυμον μέρος ἔχει τῷ Β . 
 
 ὁσάκις γὰρ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες 
ἔστωσαν ἐν τῷ Γ . ἐπεὶ ὁ Β τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ 
Γ μονάδας, μετρεῖ δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν κατὰ 
τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, ἰσάκις ἄρα ἡ Δ μονὰς τὸν Γ ἀριθμὸν 
μετρεῖ καὶ ὁ Β τὸν Α . ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις ἡ Δ μονὰς τὸν Β 
 ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Γ τὸν Α · ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἡ Δ 
μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Γ τοῦ Α . 
ἡ δὲ Δ μονὰς τοῦ Β ἀριθμοῦ μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον αὐτῷ· 
καὶ ὁ Γ ἄρα τοῦ Α μέρος ἐστὶν ὁμώνυμον τῷ Β . ὥστε ὁ Α 
μέρος ἔχει τὸν Γ ὁμώνυμον ὄντα τῷ Β · ὅπερ ἔδει δεῖξαι.