τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους 
τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. 
 ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ 
μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ 
 α, Β , Γ · δεῖ δὴ τῶν Α , Β , Γ τὸ 
μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α , Β τὸ 
μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ · ὁ 
δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. μετρείτω πρότερον· 
 μετρεῖ δὲ καὶ τοὺς Α , Β · ὁ Δ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ 
μετρεῖ· ὁ Δ ἄρα τῶν Α , Β , Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν. λέγω δή, 
ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α , Β , Γ μέγιστον 
κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς 
ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Δ . μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε . ἐπεὶ 
 οὖν ὁ Ε τοὺς Α , Β , Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α , Β ἄρα μετρήσει· 
καὶ τὸ τῶν Α , Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. 
τὸ δὲ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ · ὁ Ε 
ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν 
ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις 
 μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ · ὁ Δ ἄρα τῶν Α , Β , Γ μέγιστόν 
ἐστι κοινὸν μέτρον. μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ · λέγω πρῶτον, ὅτι οἱ Γ , Δ 
οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α , Β , Γ οὔκ 
εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. 
 ὁ δὴ τοὺς Α , Β , Γ μετρῶν καὶ τοὺς Α , Β μετρήσει, καὶ τὸ 
τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει· μετρεῖ 
δὲ καὶ τὸν Γ · τοὺς Δ , Γ ἄρα ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει· 
οἱ Δ , Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. εἰλήφθω 
οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε . καὶ ἐπεὶ ὁ Ε 
 τὸν Δ μετρεῖ, ὁ δὲ Δ τοὺς Α , Β μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺς 
Α, Β μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ · ὁ Ε ἄρα τοὺς Α , Β , Γ 
μετρεῖ· ὁ Ε ἄρα τῶν Α , Β , Γ κοινόν ἐστι μέτρον. λέγω δή, 
ὅτι καὶ μέγιστον. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α , Β , Γ τὸ 
μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς 
 ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Ε . μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ζ . 
καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺς Α , Β , Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α , Β μετρεῖ· 
καὶ τὸ τῶν Α , Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ 
δὲ τῶν Α , Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ · ὁ Ζ ἄρα τὸν 
Δ μετρεῖ· μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ · ὁ Ζ ἄρα τοὺς Δ , Γ μετρεῖ· 
 καὶ τὸ τῶν Δ , Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ 
δὲ τῶν Δ , Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε · ὁ Ζ ἄρα τὸν 
Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. 
οὐκ ἄρα τοὺς Α , Β , Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει 
μείζων ὢν τοῦ Ε · ὁ Ε ἄρα τῶν Α , Β , Γ μέγιστόν ἐστι 
 κοινὸν μέτρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος 
ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α , ΒΓ , καὶ ἔστω ἐλάσσων 
ὁ ΒΓ · λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. 
 
 οἱ Α , ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. 
ἔστωσαν πρότερον οἱ Α , ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. 
 διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας 
ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος 
τι τοῦ Α · ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α . 
 
 μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α , ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· 
ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. 
εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ 
 ΒΓ τοῦ Α . εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α , ΒΓ μέγιστον 
κοινὸν μέτρον ὁ Δ , καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ 
 εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ . καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν 
Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α · ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ 
τῶν ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ · καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ , ΕΖ , ΖΓ 
τοῦ Α μέρος ἐστίν· ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α . ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ 
 μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἐὰν ἀριθμός ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ 
αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ 
μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός. ἀριθμὸς γὰρ ὁ Α 
 ἀριθμοῦ τοῦ ΒΓ 
 
 μέρος ἔστω, καὶ ἕτερος ὁ Δ ἑτέρου τοῦ 
 ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ · 
λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ Α , Δ συναμφοτέρου 
τοῦ ΒΓ , ΕΖ τὸ αὐτὸ μέρος 
ἐστίν, ὅπερ ὁ Α τοῦ ΒΓ . 
 
 ἐπεὶ γάρ, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ , τὸ αὐτὸ μέρος 
ἐστὶ καὶ ὁ Δ τοῦ ΕΖ , ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ 
ἴσοι τῷ Α , τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τῷ ΕΖ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ 
Δ. διῃρήσθω ὁ μὲν ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Α ἴσους τοὺς ΒΗ , 
 ΗΓ , ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΕΘ , ΘΖ · ἔσται 
 δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ , ΗΓ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ , 
 ΘΖ . καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ μὲν ΒΗ τῷ Α , ὁ δὲ ΕΘ τῷ Δ , 
καὶ οἱ ΒΗ , ΕΘ ἄρα τοῖς Α , Δ ἴσοι. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ 
οἱ ΗΓ , ΘΖ τοῖς Α , Δ . ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ 
ἴσοι τῷ Α , τοσοῦτοί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΓ , ΕΖ ἴσοι τοῖς 
 α, Δ . ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α , τοσαυταπλασίων 
ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ , ΕΖ συναμφοτέρου 
τοῦ Α , Δ . ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ Α τοῦ ΒΓ , τὸ αὐτὸ μέρος 
ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ Α , Δ συναμφοτέρου τοῦ ΒΓ , 
 ΕΖ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ 
αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ 
μέρη ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός. ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ Γ μέρη ἔστω, καὶ 
 ἕτερος ὁ ΔΕ ἑτέρου τοῦ Ζ τὰ αὐτὰ μέρη, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ 
Γ· λέγω, ὅτι καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ , ΔΕ συναμφοτέρου 
τοῦ Γ , Ζ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΑΒ τοῦ Γ . ἐπεὶ γάρ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ Γ , τὰ αὐτὰ μέρη καὶ 
ὁ ΔΕ τοῦ Ζ , ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ Γ , τοσαῦτά 
 ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔΕ μέρη τοῦ Ζ . διῃρήσθω ὁ μὲν 
 ΑΒ εἰς τὰ τοῦ Γ μέρη τὰ ΑΗ , ΗΒ , ὁ δὲ ΔΕ εἰς τὰ τοῦ 
 Ζ μέρη τὰ ΔΘ , ΘΕ · ἔσται δὴ ἴσον τὸ 
πλῆθος τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΔΘ , 
 ΘΕ . καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ , 
 τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΔΘ τοῦ Ζ , ὃ 
ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΗ τοῦ Γ , τὸ αὐτὸ μέρος 
ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΗ , ΔΘ συναμφοτέρου 
τοῦ Γ , Ζ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος ἐστὶν 
ὁ ΗΒ τοῦ Γ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ 
 
 ΗΒ , ΘΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ , Ζ . ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ 
 ΑΒ τοῦ Γ , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΑΒ , 
 ΔΕ συναμφοτέρου τοῦ Γ , Ζ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, 
καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, 
ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου. ἀριθμὸς γὰρ ὁ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΓΔ μέρος ἔστω, ὅπερ 
 ἀφαιρεθεὶς ὁ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ · λέγω, ὅτι καὶ 
λοιπὸς ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ 
ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ . ὃ γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἔστω 
καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ . καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ 
 
 ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΓΗ , ὃ ἄρα μέρος 
ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ 
 ΗΖ . ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος 
ὑπόκειται καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ · ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ 
 τοῦ ΗΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ · ἴσος ἄρα ἐστὶν 
 ὁ ΗΖ τῷ ΓΔ . κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΓΖ · λοιπὸς ἄρα ὁ 
 ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστιν ἴσος. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ὁ 
 ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΗΓ , ἴσος 
δὲ ὁ ΗΓ τῷ ΖΔ , ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ 
αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΕΒ τοῦ ΖΔ . ἀλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ 
 
 ΑΕ τοῦ ΓΖ , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ · καὶ 
λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, 
ὅπερ ὅλος ὁ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ · ὅπερ ἔδει δεῖξαι.