αα ααα αααα αα ααα αααα ααα αααα

κατὰ ταὐτὰ δὲ ἂν μὴ μόνον τοὺς ἐφεξῆς ἀρτίους 2 γὰρ suppra vs. A. 5 περιθῇς Bull.] προσθῆς A τοῖς πρώτοις] τοῖς ϛ΄ ? cf. vs. 1 6 ταῦτα del. vid. 8 fig. semper lineis circumscr. A. 14 περιθῇς Gelder 22 ταυτὰ corr. ex ταῦτα A μηδὲ μόνον τοὺς ἐφεξῆς περισσούς, ἀλλὰ καὶ ἀρτίους καὶ περισσοὺς ἀλλήλοις ἐπισυντιθῶμεν, τρίγωνοι ἡμῖν ἀριθμοὶ γενήσονται. ἐκκείσθωσαν γὰρ ἐφεξῆς περισσοὶ καὶ ἄρτιοι, α΄ β΄ γ΄ δ΄ ε΄ Ϛ΄ ζ΄ η΄ θ΄ ι΄. γίνονται κατὰ τὴν τούτων σύνθεσιν οἱ τρίγωνοι. πρώτη μὲν ἡ μονάς· αὕτη γάρ, εἰ καὶ μὴ ἐντελεχείᾳ, δυνάμει πάντα ἐστίν, ἀρχὴ πάντων ἀριθμῶν οὖσα. τῆς δὲ ἑξῆς αὐτῇ δυάδος προστεθείσης γίνεται τρίγωνος ὁ γ΄· εἶτα πρόσθες γ΄, γίνεται Ϛ΄· εἶτα πρόσθες δ΄, γίνονται ι΄· εἶτα πρόσθες ε΄, γίνονται ιε΄· εἶτα πρόσθες ϛ΄, γίνονται κα΄· εἶτα πρόσθες ζ΄, γίνονται κη΄· εἶτα πρόσθες η΄, γίνονται λϚ΄· εἶτα πρόσθες θ΄, γίνονται με΄· εἶτα πρόσθες ι΄, γίνον- ται νε΄· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. δῆλον δὲ ὅτι τρίγωνοι οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ κατὰ τὸν σχηματισμόν, τοῖς πρώτοις ἀριθμοῖς τοῦ ἐφεξῆς γνώμονος προστιθε- μένου· καὶ εἶεν ἂν οἱ ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως ἀπογεννώ- μενοι τρίγωνοι οἵδε· γ΄ Ϛ΄ ι΄ ιε΄ κα΄ κη΄ λς΄ με΄ νε΄. καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν ἑξῆς τῶν με΄ καὶ νε΄.

οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι- θεμένων· συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παῤ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμὸς παῤ ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός· οἷον α΄ δ΄ θ΄ ις΄ κε΄ λϚ΄ μθ΄ ξδ΄ πα΄ ρ΄. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται· ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι 〈οἱ〉 περιττοί. ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν.

ἑτέρα δὲ πάλιν ἐστὶ τάξις ἐν τοῖς πολυγώνοις τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἀριθμῶν. τῶν γὰρ ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων, λέγω δὲ διπλασίων τριπλασίων καὶ τῶν ἑξῆς, οἱ μὲν ἕνα παῤ ἕνα διαλείποντες ἀριθμοὶ τετράγωνοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες, οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετρά- γωνοί εἰσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους 1 inscr. κερὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων A, κα in mg. α γ ε ζ θ in mg. A προείρηται: p. 28, 3. 32, 9 5 in mg. sup. cod. A haec scripta sunt: α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι. δ θ ιϚ κε τετράγωνοι α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι ιβ ιγ ε ιβ κβ λε πεντάγωνοι α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι ια ιβ ιγ ιδ ιε ιϚ ιζ Ϛ ιε κη με ἑξάγωνοι 12 πενταγώνους corr. ex τετραγώνους A. 13 ἡ supra vs. A. ἀριθμοὺς κύβοι ὄντες, τετράγωνοι δὲ ὄντες ἀριθμοὶ κυβικὰς ἔχουσι τὰς πλευράς. ὅτι δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀριθμιῶν οἱ μὲν παρʼ ἔνα ἀπὸ μονάδος τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ παρὰ βʹ κύβοι, οἱ δὲ παρὰ εʹ κύβοι ἄμα καὶ τε- τράγωνοί εἰσι, δῆλον οὕτως. ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις, κειμένων πλειόνων ἀριθμῶν οἷον αʹ βʹ γʹ δʼ εʹ ςʹ ζʹ ηʹ θ΄ ι΄ ια΄ ιγ΄ ιδ΄ ιεʹ ιϛʹ ιζ ιηʹ ιθʹ κʹ καʹ κβʹ κγʹ κδʹ κε πρῶτος διπλάσιος ὁ β· εἶτα ὁ δʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἶτα ὁ ηʹ, ὅς ἐστι κύβος· εἶτα ιϛʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἴτα ὁ λβ΄· μεθʼ ὅν ὁ ἔδʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ κύβος· εἶτα ρκη· μεθʼ ὅν σνςʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. καὶ ἐν τῷ τριπλασίῳ εὑρεθήσονται οἱ παρʼ ἕνα τετράγωνοι, καὶ ἐν τῷ πεν- ταπλασίῳ, καὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς πολλαπλασίους. ὁμοίως δὲ εὑρεθήσονται καὶ οἱ δύο διαλείποντες ἐν τοῖς πολλα- πλασίοις κύβοι πάντες, καὶ οἱ εʹ διαλείποντες κύβοι ἂμα καὶ τετράγωνοι. ἰδίως δὲ τοῖς τετραγώόνοις συμβέβηκεν ἤτοι τρίτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάντως, ἢ πάλιν τέταρτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχειν πάντως· καὶ τὸν μὲν μονάδος ἀφαιρε- θείσης τρίτον ἔχοντα ἔχειν καὶ τέταρτον πάντως, ὡς ὁ δʹ, τὸν δὲ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχοντα ἔχειν τρίτον πάντως, ὡς ὁ θʹ, ἢ τὸν αὐτὸν πάλιν καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ λςʹ [ἢ μηδέτερον τούτων ἔχοντα τοῦτον μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάν- 5 ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις δῆλον οὕτως7 6 pro hac numero- rum serie Gelderus hanc posuit: αʹ βʹ δʹ ηʹ ιϛʹ λβʹ ξδʹ ρκηʼ σνςʹ 13 ἐν τῶ πενταπλασίῳ A2] οἱ παρʹ ἕνα πενταπλάσιοι A1 15 διαλείποντες; ει corr. ex ι A 17 sqq, cf. Nesselmann die Algebra der Griechen p. 227 sq. 24 ἤ — πάντως del. bull, 25 τοῦτον corr. ex τούτων A. τως], ἢ μήτε τρίτον μήτε τέταρτον ἔχοντα μονάδος ἀφαιρεθείσης καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ κε΄.

ἔτι τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις, καὶ ἁπλῶς οἱ διχῶς πολλαπλασιαζόμενοι ἐπίπεδοι, οἱ δὲ τριχῶς στερεοί. λέγονται δὲ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ καὶ τρίγωνοι καὶ τετράγωνοι καὶ στερεοὶ καὶ τἆλλα οὐ κυ- ρίως ἀλλὰ καθʼ ὁμοιότητα τῶν χωρίων ἃ καταμετροῦ- σιν· ὁ γὰρ δ΄, ἐπεὶ τετράγωνον χωρίον καταμετρεῖ, ἀπʼ αὐτοῦ καλεῖται τετράγωνος, καὶ ὁ Ϛ΄ διὰ τὰ αὐτὰ ἑτερο- μήκης.