κς. Τὸ δοθὲν χωρίον διελεῖν διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εἰς τὰ δοθέντα μέρη. ἔστω δὲ τὸ δοθὲν σημεῖον ὥσπερ ὕδρευμα, ἢ ὡς πάντες οἱ τὰς διαιρέσεις λαβόντες τῷ αὐτῷ χρῶνται ὕδατι. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ Γ∠, ∠Ε, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΑ· ἐὰν γὰρ μὴ ὦσιν αἱ τὸ χωρίον περιέχουσαι εὐθεῖαι, ἀλλʼ ἄτακτός τις γραμμή, ληψόμεθα ἐπʼ αὐτῆς συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς μεταξὺ αὐτῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι. τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἔστω τὸ Μ, καὶ δέον ἔστω διελεῖν εἰς ἑπτὰ ἴσα μέρη τὸ χωρίον διὰ τοῦ Μ σημείου. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΜΝ διὰ τῆς διόπτρας, 2 suppl. Vi 5—6 πρὸς τὸ Β 6 τοῦ Χ 7 ἐκτείνομεν 8 τὸ Υ 9 θησωμεν 10 τῆς ΒΚΘ ὑπάρχει: corr. Vi 14 ἐπαυτὰσ: correxi 18 [ἢ] delevi dubitanter 23 〈συνεχῆ〉 addidi 27 ἐπὶ τῆς ΑΒ ὥστʼ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΜΑ, ΜΒ, δυνατὸν ἔσται μετρεῖν τὸ ΑΜΒ τρίγωνον. τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΜΝ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΒΜ τριγώνου. p. 278 δυνατὸν δέ ἐστι μετρῆσαι, ὡς προγέγραπται, καὶ ὅλον τὸ χωρίον. εὶ μὲν οὖν τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἕβδομον μέρος ἐστὶν τοῦ ὅλου χωρίου, ἔσται τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἓν τῶν μερῶν· εἰ δὲ μεῖζον, ἀφελεῖν δεῖ ἀπʼ αὐτοῦ, διαγαγόντα τὴν ΜΞ, καὶ ποιεῖν τὸ ΑΜΞ τρίγωνον ἴσον τῷ ἑβδόμῳ μέρει τοῦ ὅλου χωρίου· εἰ δὲ μεῖόν ἐστι τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τοῦ ἑβδόμου, δεήσει ἀπὸ τοῦ ΒΓΜ τριγώνου ἀφελεῖν τὸ ΒΜΟ τρίγωνον, ὃ, μετὰ τοῦ ΑΜΒ τριγώνου, ἕβδομον ἔσται μέρος τοῦ ὅλου χωρίου· ὡς δεῖ δὲ ἀφελεῖν τρίγωνον ἢ προσθεῖναι, ἑξῆς δείξομεν. οὕτως οὖν καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριγώνων ἐπιλογιζόμενοι διεξελοῦμεν τὸ χωρίον εἰς τὰ δοθέντα μέρη ἀπὸ τοῦ Μ σημείου.

κζ. Τὺ δοθὲν χωρίον μετρῆσαι μὴ εἰσελθόντα εἰς τὸ χωρίον, ἤτοι διὰ φυτείας πυκνότητα ἢ διὰ οἰκοδομημάτων ἐμποδισμὸν ἢ διὰ τὸ μὴ ἐξεῖναι εἰς τὸ χωρίον εἰσιέναι. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ, Γ∠, ∠Ε, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΑ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΗ, ΘΗ ἐπὶ τὰ fol. 75r ἐκτὸς τοῦ χωρίου μέρη, ἤτοι διὰ | κανόνων ἢ σπάρτου· καὶ τῆς μὲν ΖΗ μέρος τι κείσθω ἡ ΗΚ, τῆς δὲ ΘΗ p. 280 τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΗΛ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΚΛ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΖ. καὶ ὃν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΚΛ τρίγωνον, διὰ τὸ παράλληλον γίνεσθαι τὴν ΘΖ τῇ 7 μείζων 8 τὴν μεταξὺ: corr. Vi 18 φυτίας 25 ἐπιζεύχθω 27 πρὸς τῶ 29 f. γενέσθαι ΚΛ· οἷον, εἰ τύχοι, εἰ πενταπλασία ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΚ, ἔσται τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πεντεκαιεικοσαπλάσιον τοῦ ΗΚΛ τριγώνου. δυνατὸν δὲ μετρῆσαι τὸ ΗΚΑ τρίγωνον, ἐπειδήπερ ἔχω τὰς πλευρὰς αὐτοῦ· τοῦτο γὰρ ἑξῆς δείξομεν· δυνατὸν οὖν καὶ τοῦ ΖΗΘ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν πορισθῆναι. ἐὰν οὖν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΘΖ, ΘΕ, Θ∠, ΘΓ, ΘΒ, καὶ εὕρωμεν ἑκάστου τῶν ΘΕΖ, ΘΕ∠, Θ∠Γ, ΘΓΒ, ΘΒΑ τριγώνων τὸ ἐμιβαδὸν, ἔστιν καὶ ὅλου τοῦ χωρίου τὸ ἐμβαδὸν πεπορισμένον. ἐκβεβλήσθω ἡ ΗΖ ἐπὶ τὸ Μ, καὶ κείσθω τῇ ΗΚ ἴση ἡ ΖΜ· καὶ ἐπὶ τῆς ΖΜ σχοινίῳ κεκλάσθωσαν αἱ ΖΝ, ΝΜ, ὥστʼ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΖΝ τῇ ΚΛ, τὴν δὲ ΝΜ τῇ ΗΛ· ἔσται δὴ ἡ ΖΜ τῇ ΗΖ καὶ ἡ ΝΖ τῇ ΖΘ ἐπʼ εὐθείας. ἐκβεβλήσθω δὴ καὶ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Ξ· καὶ τῆς μὲν ΕΖ μέρος ἔστω ἡ ΖΞ, τῆς δὲ ΘΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΖΟ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΟ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΞΟ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΕ καὶ παράλληλος αὐτῇ. καὶ ἔστι ὡς τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΞ τὸ ΕΘΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΞΖΟ τρίγωνον· δυνάμεθα δὲ πορίσασθαι τὸ ΞΖΟ, ἐπειδήπερ ἑκάστην τῶν πλευρῶν αὐτοῦ δυνατόν ἐστιν μετρῆσαι· ὥστε καὶ τὸ ΞΘΖ τρίγωνον πορίσασθαι δυνατόν ἐστιν. ὁμοίως δὴ καὶ ἑκάστου τῶν λοιπῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν ποριούμεθα· ὥστε καὶ τοῦ ὅλου χωρίου δυνατόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι.

κη. Τὰ δὲ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν. τραπεζίου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠, παράλληλον ἔχοντος τῇ Α∠ τὴν ΒΓ, καὶ ἔτι ἑκατέραν αὐτῶν καὶ τὴν μὲν ἐπʼ 8 εὕρομεν τὸν ΘΕΖ 10 supplevi 12 αἱ ΖΗ ΝΜ 13 supplevi 15 ἐπὶ τὸ Ξ, sed Ξ ex Ζ fec. m. 1 18 καὶ ἔτι: correxi πρὸς τῶ 19 τριγωνω 28 [μὲν] delevi αὐτὰς κάθετον δοθεῖσαν, ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ Α∠, ὡς τὴν ΕΖ, ἀπολαμβάνουσαν τὸ Α∠ΕΖ τραπέζιον δοθὲν τῷ μεγέθει. γεγονέτω δὴ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΒΑ, Γ∠ ἐπὶ τὸ Η· καὶ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Α∠, ΒΓ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει, λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς Α∠ δοθείς, ὥστε καὶ τῆς ΘΗ πρὸς ΗΚ, καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΚΗ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσα. δέδοται οὖν καὶ τὸ Α∠Η τρίγωνον τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΗΕΖ τρίγωνον· λόγος ἄρα τοῦ ΗΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΗΑ∠ τρίγωνον δοθείς, ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΛΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ἀπὸ ΗΚ, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΗΛ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΗΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΘ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστι. θέσει ἄρα ἡ ΕΖ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΚ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστι. θέσει ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. συντεθήσεται fol. 75v δὴ | οὕτως. ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μοιρῶν ιδ, ἡ δὲ Α∠ μοιρῶν ἑπτὰ, ἡ δὲ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος μοιρῶν ϛ. p. 284 ἐπεὶ οὖν διπλασία ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Α∠, ὅλη ἄρα ἡ ΗΘ τῆς ΗΚ ἐστὶ διπλασίων· καὶ ἔστιν ἡ ΚΘ μοιρῶν ϛ· ἔσται ἄρα καὶ ἡ λοιπὴ μοιρῶν ϛ· ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ μοιρῶν ζ· τὸ ἄρα Α∠Η τρίγωνον ἔσται μοιρῶν κα. δέον οὖν ἔστω τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον ποιεῖν μοιρῶν ιθ· ὅλον ἄρα τὸ ΗΕΖ τρίγωνον ἔσται μοιρῶν υ· καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ μοιρῶν ἐστὶν ϛ, τὸ ἄρα ἀπʼ αὐτῆς μοιρῶν ἐστὶ λϛ. πολλαπλασιάζω οὖν τὰ λϛ ἐπὶ τὰ 12 πρὸς τῶ 15 ἡ ΛΗ δοθεισα θεσις, tum una littera erasa est 17 καὶ ἡ ΕΒ 19 επαυτ. σ (post τ una litt. eva- nuit) 20—21 ἄρα ἡ ΠΟ 27 μοιρῶν εστι λU+A7FC (in ultima litt. aliquid correctum est) υ· γίνεται αυμ· καὶ παραβάλλω παρὰ τὸν κα, γίνεται ξη U+2220 ιδʹ· καὶ τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὡς ἔγγιστα η καὶ β· ἔσται οὖν ἡ ΗΛ μοιρῶν η καὶ β, ὧν ἡ ΗΚ μοιρῶν ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ μοιρῶν β καὶ β· ὥστʼ ἐὰν ἀπὸ τῆς καθέτου ἀφέλω μοίρας δύο καὶ β, καὶ παράλληλον ἀγάγω, ἔσται τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον μοιρῶν ιθ.

κθ. Τριγώνου ὄντος τοῦ ΑΒΓ, καὶ καθέτου τῆς Α∠ διαγαγεῖν τὴν ΑΕ ἀπολαμβάνουσαν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον δοθέν. γεγονέτω. δοθὲν οὖν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒΕ· δοθὲν ἄρα τὸ Ε. ἔστω οὖν ἡ Α∠ κάθετος μοιρῶν p. 286 ϛ· τὸ δὲ ἀφαιρούμενον τρίγωνον μοιρῶν με. δὶς τὰ με γίνονται 𝔮. παραβάλλω παρὰ τὸν ϛ, γίνονται ιε. ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΒΕ μοιρῶν ιε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ. ἔσται δὴ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον μοιρῶν με.

λ. Τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. δυνατὸν μὲν οὖν ἐστὶν ἀγαγόντα μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν· δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι. ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΒ, ΗΓ. Η∠, ΗΕ ΗΖ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΗΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ, Η∠ τοῦ ΑΗΒ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ, ΗΖ τοῦ ΑΓΗ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ 3 η καὶ Β (sic) η καὶ η Β (sic) 8 ὄντος: f. δοθέντος 13 τῶν ϛ 14 supplevi 16 cf. Heronis Rationes dimetiendi I cap. 8 p. 20 18 αὐτῆς: σ ex ν fec. m. 1 19 δεδόσθω δὲ: correxi τῆς ΗΕ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ∠ΖΕ p. 288 κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΒ, καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα ΘΓ ἡμίσειʼ ἐστὶ τῆς περιμέτρου· τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΓ, ΕΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐμβαδῷ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΘΓ, ΕΗ, πλευρά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ ΕΗ· τοῦ ἄρα ἀπὸ ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἡ πλευρὰ ἔσται τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ ΗΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΒΓ ἡ ΒΛ· καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, fol. 76r γωνιῶν, ἐν κύκλῳ | ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Η, Β, Λ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗ, ΓΛ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καί διὰ τὸ δίχα τέμνεσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας, ταῖς ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ ΓΛΒ. ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΗ∠ τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ· ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ, ἡ Α∠ πρὸς ∠Η, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΗΕ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΛ πρὸς ΗΕ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ. ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘ, ΘΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΕΓ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΕΚ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ, οὗ πλευρὰ ἦν τὸ τρίγωνον, ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘ, ΘΒ, ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΕΒ. καὶ ἔσται δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ, ΘΒ, ΒΕ, ΕΓ· ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου· ἡ δὲ ΘΒ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια 5 εμβαδον 8 εσται τω τῆ ΝΓ 9 ἡ Γ∠ 12 ὑπὸ: ὑ evanuit 13 πρὸς τὸ 15—16 πρὸς ΑΒΛ sed Α del. m. 1 17 πρὸς ΝΕ 19 πρὸς ΗΚ ὡστε 20 πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ 20—21 τὸ ὑπὸ ΒΕΓ 21 τῶ ὑπὸ ΓΕΚ πρὸς τῶ 23 τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπεὶ 26 ὑπεροχὴν ὑπερέχει τῆς περιμέτρου τῆς ΒΓ· ἡ δὲ ΒΕ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΓΕ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μοιρῶν ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μοιρῶν ιδ, ἡ δὲ ΓΑ μοιρῶν ιε. σύνθες τὰς τρεῖς, γίνονται μβ· τούτων τὸ ἥμισυ κα. ἄφελε τὰ ιγ, λοιπὸν η· καὶ τὰ ιδ, λοιπὸν ζ· καὶ τὰ ιε, λοιπὸν ϛ. τὰ κα, η, ζ, ϛ πολλαπλασιασθέντα p. 290 διʼ ἀλλήλων γίνονται ζνϛ· τούτων ἡ πλευρὰ ἔσται πδ. τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου πδ.