ιβ. Σημείου ὁρωμένου εὑρεῖν τὴν ἀπʼ αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον 1 post μέρος spatium 2 litterarum 1—2 τὴν δὲ Γ∠ ἐπʼ εὐθείας: correxi 7 f. 〈ἄλλην〉 πρὸς 13 ἡ ΓΑ: corr Vi 13—14 τὴν Γ∠ εὐθεῖαν; correxi 16 ειδη: corr. Vi 17 προς τω: corr. Vi παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὁρωμένῳ σημείῳ. ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον μετέωρον τὸ A, τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον διὰ τοῦ Β. κείσθω οὖν ἡ διόπτρα πρὸς τῷ Β· καὶ στυλίσκος μὲν νοείσθω ὁ ΒΓ, ὁ δὲ κινούμενος κανὼν διʼ οὗ διοπτεύομεν ὁ ∠ΓΕ. καὶ κινείσθω, ἄχρις ἂν φανῇ διʼ αὐτοῦ τὸ Α· καὶ μένοντος αὐτοῦ ἀκινήτου, μεταξὺ τῆς διόπτρας καὶ τοῦ Α σημείου ἕτεροι δύο κανόνες ἐγκείσθωσαν οἱ ΖΗ, ΘΚ ὀρθοὶ, ἀνισοϋψεῖς, ὧν ὁ μὲν μείζων ἔστω ἐπὶ τὰ πρὸς τὸ Α μέρη. τὸ δὲ ἔδαφος νοείσθω κατὰ τῆς ΒΖΘΛ γραμμῆς ὡς ἔτυχεν ὑπάρχον· τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι νοείσθω τὸ κατὰ τῆς ΒΛ εὐθείας. παραγέσθωσαν οὖν fol. 68r οἱ ΖΗ, ΘΚ κανόνες, ἄχρις ἂν ἐ|πʼ εὐθείας φανῶσι p. 222 τῷ Α σημείφ, μένοντος ἀκινήτου τοῦ ∠ΓΕ κανόνος. τεθεωρήσθω οὖν ἐπὶ μὲν τοῦ ΖΗ κανόνος τὸ σημεῖον, ἐπὶ δὲ τοῦ ΘΚ τὸ Κ. καὶ νενοήσθωσαν ἐκβεβλημέναι αἱ ΖΗ, ΘΚ ἐπὶ τὰ Μ, Ν· καὶ τῷ ΒΛ παράλληλοι ἠγμέναι αἱ ΗΞ, ΚΟ. δυνατὸν δέ ἐστιν ἐπισκέψασθαι τίνι ἐστὶ μετεωρότερον τὸ Ζ τοῦ Β χωροβατήσαντα· ἑκάτερον γὰρ τῶν Β, Ζ σημείων πρὸς ἡμᾶς· ὥστε δυνατὸν εὑρεῖν τὴν ΖΜ· ὁμοίως καὶ τὴν ΝΘ. ἔχω δὲ καὶ ἑκατέραν τῶν ΗΖ, ΚΘ, ὥστε φανερόν ἐστιν τῶν ΗΜ, ΚΝ, ἡλίκη ἐστὶν ἑκατέρα, ὥστε καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἡ ΚΞ ἡλίκη ἐστίν. ἐπιστάμεθα δὲ καὶ ἡλίκη ἐστὶν ἡ ΗΞ τὸ γάρ μεταξὺ τῶν 8 f. ἐκκείσθωσαν R. Schoene 10 πρὸς τῷ: correxi 11 ΒΖΟΛ: corr. Vi ὑπάρχων; corr. Vi 15 σημεῖον: corr. Vi 16 τεθεωρείσθω: corr Vi 17 νενοησθωσαῖ (sic): correxi 18—19 καὶ τὸ Λ παράλληλον: correxi 19 αἱ ΝΞ ΚΘ: corr. Vi 20 μετεωρον: corr. Vi 21 χωροβατησαν: corr. Vi 22 τῆ ΖΜ: corr. Vi 23 τῆ ΝΘ: corr. Vi 24 supplevi 26 ἡ ΝΞ: corr. Vi Ζ, Θ διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην· ὥστε ἕξω τίνα λόγον ἔχει ἡ ΗΞ πρὸς τὴν ΞΚ. ἔστω οὖν εἰ τύχοι εὑρημένη ἡ ΗΞ τῆς ΞΚ πενταπλῆ. καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον, τουτέστιν ἐπὶ τὴν ΒΛ, κάθετος ἤχθω ἡ ΑΟΡΠ· ὥστʼ ἔσται καὶ ἡ ΚΟ πενταπλῆ τῆς ΟΑ. καὶ ἐπεὶ ἴσμεν ἡλίκη ἐστὶν ἡ ΚΟ — τὸ γὰρ μεταξὺ τῶν Θ, Ρ, διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην —, ἕξω ἄρα καὶ τὴν ΑΟ ἡλίκη ἐστίν. ἔχω δὲ καὶ τὴν ΟΠ, ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΝ ὥστε καὶ ὅλην τὴν Α Π, κάθετον οὖσαν ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον, ἕξω ἡλίκη ἐστίν.

p. 224

ιγ. Δύο σημείων ὁρωμένων εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι μὴ προσεγγίσαντα τοῖς εἰρημένοις δύο σημείοις τοῖς Α, Β.

Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν, ὡς ἐπάνω δέδεικται, ἐπιγνῶναι τὴν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· νοείσθω κατὰ τῆς ΓΑ. ὁμοίως δὴ πεπορίσθω καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· καὶ ἔστω ἡ Β∠. καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος νοείσθω ἡ ΑΕ, καὶ τεμνέτω τὴν Β∠ κατὰ τὸ Ε ἡ ἄρα ζητουμένη κάθετός ἐστιν ἡ ΒΕ. καὶ ἔστιν φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο ὁρωμένων σημείων τὴν ἐπιζευγνύουσαν fol. 68v αὐτὰ εὐθεῖαν | ἡλίκη ἐστίν, ἐπειδήπερ δοθεῖσά ἐστιν 2 ἡ ΝΞ: corr. Vi 3 ΝΞ 14 ἐκβαλλομένην: corr. Vi 16 〈ἐπιγνῶναι〉 inserui; 〈γνῶναι〉 Vi 19 τῆς Γ∠: corr. Vi ἥ τε ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἔτι τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τὸ πρὸς διαβήτην δοθέν ἐστι, τὰ δʼ εἰρημένα διαστήματα πρὸς p. 226 ὀρθάς ἐστιν ἀλλήλοις· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν, ἥτις ἐπὶ τὰ δοθέντα σημεῖα ἐπιζευγνυμένη, δοθεῖσά ἐστιν.

Δύο δοθέντων σημείων εὑρεῖν τὴν θέσιν τῆς ἐπιζευγνυούσης αὐτὰ εὐθείας, μὴ προσεγγίσαντα τοῖς σημείοις.

ἔστω τὰ δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τὴν τοῦ διὰ τῶν Α, Β ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρίζοντα τὴν θέσιν εὑρεῖν, ὡς ἐμάθομεν ἐν τοῖς ἔμπροσθεν· τουτέστιν καθέτου ἀχθείσης ἀφʼ ἑκατέρου τῶν σημείων Α, Β ἐπὶ τὸ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπίπεδον, δοθεισῶν τῶν ΑΓ, Β ∠, τὴν θέσιν τῆς Γ∠ εὑρεῖν. ηὑρήσθω καὶ ἔστω ἡ ΗΖ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ ἔστω, ἣ καὶ τῇ ΗΖ παράλληλός ἐστι, καὶ δοθεῖσα ἔσται λοιπὴ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΕ, ὡς προδέδεικται. εἰλήφθω δὴ ἐπὶ τῆς ΗΖ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνεστάτω τις ὀρθὴ πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἡ ΖΘ κανόνος παρατεθέντος ἢ ἑτέρου τινός. παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ∠Β· καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ παράλληλος ἔσται τῇ ΑΒ· τοῦτο γὰρ φανερὸν διά τε τὰς παραλλήλους 1 υ ετέρου litterae paene evanidae 2 παραλληλω: corr. Vi 5 supplevi 5—6 τὴν ἀρχὴν ὀρθὴν, sed ἀρχὴν del. m. 1 12 [τὴν] delevi 15 addidi 16 τῶν ΑΓ Γ∠ 17 ηυρείσθω: correxi; κυρείσθω Vi 18 τῆ Α ἔστω 18—19 καὶ τῆ ΕΖ: correxi et supplevi 20 ΗB ὡς 21 τῆς ΕΖ 21—22 τὰ ΕΖ καὶ ἀτοῦ (sic) 24 ἄρα ἐπι: correxi τῆ ΑΒ καὶ τὰς ἀναλογίας· πεπόρισται ἄρα ἡ θέσις τῆς ΑΒ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν.

Ἐκ δὴ τῶν προδεδιδαγμένων φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστιν, ὄρους ὑπάρχοντος, εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὄρει, καὶ τὴν ἀφʼ οἱουδηποτοῦν σημείου κειμένου ἐν τῷ ὄρει καὶ ὁρωμένου τὴν ἀγομένην κάθετον εὑρεῖν· ἐπειδήπερ ἐμάθομεν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου κάθετον πορίσασθαι, καὶ ὁμοίως δυνατὸν ἦν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου ἐν τῷ ὄρει κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου σημείου ἐν τῷ p. 228 ὄρει κειμένου καὶ ὁρωμένου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι. ἁπλῶς γὰρ δύο σημείων δοθέντων οἱωνδηποτοῦν τὰ αὐτὰ ἐμάθομεν πορίσασθαι, fol. 69r τουτέστιν τάς τε ἀγομένας ἀπʼ αὐτῶν καθέτους | καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τό γε πρὸς διαβήτην, καὶ ὡς ἔχει θέσεως, μὴ προσιόντα τοῖς σημείοις.