Si fuerit semicirculus ABC, et in eius diametro sumatur punctum D, et fuerit AD ipsius DC sesquia, et describantur super AD, DC duo semicirculi, et ponatur circulus EF inter tres semicirculos tangens eos, et educatur diameter EF in illo parallela diametro AC, reperiri debet proportio diametri AC ad diametrum EF.

lungam us enim duas lineas AE, EB et duas lineas CF, FB ; erunt CB, AB rectae, ut dictum est in prima propositione. Describamus etiam duas lineas FGA, EHC, ostendeturque esse quoque rectas ; similiter duas ineas DE, DF, et iungamus DΙ, DL et EM, FN et producamus eas ad O, Ρ. Et quia in triangulo AED AG est perpendicularis ad ED, et DI est quoque perpendicularis ad AE, et iam se mutuo secuerunt in M, ergo EMO erit etiam perpendicularis, quemadmodum ostendimus in expositione, quam confecimus de proprietatibus triangu orum, et cuius demonstratio iam quidem praecessit in superiori propositione ; similiter quoque erit FΡ perpendicularis super CA. Et quia duo anguli, qui sunt apud L et B, sunt recti, erit DL parallela ipsi AB, et pariter DΙ ipsi CB ; igitur proportio AD ad DC est, ut proportio AM ad FM, immo ut proportio AO ad OP, et proportio CD ad DA, ut proportio ΟΡ, CN ad NE, immo ut proportio CΡ ad ΡΟ. Et erat AD sesquialtera D C ; er go AO est sesquialtera OP et OΡ sesquialtera CΡ. Ergotres lineae AO, OΡ, ΡC sunt proportionales, et in eadem mensura, in qua est PC quattuor, erit OΡ sex et AO nonem et CA nouendecim. Et quia ΡO aequalis est EF, erit propotio AC ad EF ut nouendecim ad sex. lgitur reperimus dictam proportionem. Etiam si fuerit AD ad DC qualiscunque, ut sesquitertia aut sesquiquarta aut alia, erit iudicium et ratio uti dictum est. Et hoc est quod uoluimus.

Si circul us circa quadratum descriptus fuerit, et alius intra illum, utique erit circumscriptus duplus inscripti.

Sit itaque circulus comprehendens quadratum AB circulus AB et inscriptus CD, et sit diameter quadrati AB, et est diameter circuli circumscripti, et educamus CD diametrum circuli inscripti parallelam ipsi AE, quae est ei aequalis. Et quia quadratum AB duplum est quadrati AE siue DC, et proportio quadratorum ex diametris circulorum est eadem proportioni circuli ad circulum, igitur circulus AB duplus est circuli CD. Et hoc est quod uoluimus.

Si egrediatur in circulo linea AB ubicunque et producatur in directum, et ponatur BC aequalis semidiametro circuli, et iungatur ex C ad centrum circuli, quod est D, et producatur ad E, erit arcus AE triplus arcus BF.

Educamus igitur EG parallelam ipsi AB, et iungamus DB, DG, et quia duo anguli DEG, DGE sunt aequales, erit angulus GDC duplus anguli DEG. Et quia angulus BDC aequa is est angulo BCD, et angulus CEG aequalis est angulo ACE, erit angulus GDC duplus anguli CDB et totus angu us BDG triplus anguli BDC. et arc us BG aequalis arcui AE triplus est arcus BF. Et hoc est quod noluimus.

Si mutuo se secuerint in circulo duae lineae AB, CD (sed non in centro) ad angulos rectos, utique duo arcus AD, CB sunt aequales duobus arcubus AC, DB.

Educamus diametrum EF parallelam ipsi AB, quae secet CD bifariam in G ; erit EC aequalis ipsi ED. Et quia tam arcus EDF quam ECF est semicirculus, et arcus ED aequa is arcui EA cum arcu AD, erit arcus CF cum duobus arcubus EA, AD aequalis semicirculo. Et arcus EA aequalis arcui BF ; ergo arcus CB cum arcu AD aequalis est semicirculo. Et remanent duo arcus EC, EA, nempe arcus AC, cum arcu DB aequales illi. Et hoc est quod uoluimus.

10.

Si fuerit circulus AΒC et DA tangens illum et DB secans illum et DC etiam tangens, et educta fueri CE parallela ipsi DB, et iuncta fuerit EA secans DB in F, et educta fuerit ex F perpendicularis FG super CE, utique bifariam secabit illam in G.

lungamus AC. Et quia DA est tangens et AC secans circulum, erit angulus DAC aequalis angulo cadenti in alterno segmento AC, nempe angulo AEC. Et est aequalis angul o AFD, eo quod CE, BD sunt parall elae; ergo anguli DAC, AFD sunt aequales. Et in duobus triangulis DAF, AHD sunt duo anguli AFD, HAD aequales, et angulus D com m unis; propterea erit rectangulum FD in DH aequale quadrato DA, immo quadrato DC. Et quia proportio FD ad DC est eadem proportioni CD ad DH, et angulus D comnunis, erunt triangula DFC, DCA similia, et angulus DFC aequalis DCΗ, qui aequalis est angulo DAH. Et hic est aequalis angulo AFD; ergo duo anguli AFD, CFD sunt aequales. Et DFC aequalis angulo FCE ; et erat DFA aequalis angulo AEC; ergo in triangulo FEC sunt duo anguli C, E aequales et duo anguli G recti et latus GE commune; propterea erit CG aequalis ipsi GE. Ergo CE bifariam secatur in G. Et hoc est quod noluimus.