6. Si fuerit semicirculus
ABC, et in eius diametro
sumatur punctum D, et
fuerit AD ipsius DC sesquia,
et describantur
super AD, DC duo
semicirculi, et ponatur
circulus EF inter tres
semicirculos tangens eos,
et educatur diameter EF
in illo parallela diametro
AC, reperiri debet proportio
diametri AC ad
diametrum EF. lungam us enim duas
lineas AE, EB et duas
lineas CF, FB ; erunt CB,
AB rectae, ut dictum est
in prima propositione.
Describamus etiam duas

 
lineas FGA, EHC, ostendeturque
esse quoque
rectas ; similiter duas
ineas DE, DF, et iungamus
DΙ, DL et EM, FN
et producamus eas ad O,
Ρ. Et quia in triangulo
AED AG est perpendicularis
ad ED, et DI
est quoque perpendicularis
ad AE, et iam se
mutuo secuerunt in M,
ergo EMO erit etiam
perpendicularis, quemadmodum
ostendimus
in expositione, quam confecimus
de proprietatibus
triangu orum, et cuius
demonstratio iam quidem
praecessit in superiori
propositione ; similiter
quoque erit FΡ perpendicularis
super CA. Et
quia duo anguli, qui sunt
apud L et B, sunt recti,
erit DL parallela ipsi AB,
et pariter DΙ ipsi CB ;
igitur proportio AD ad

 
DC est, ut proportio AM
ad FM, immo ut proportio
AO ad OP, et proportio
CD ad DA, ut proportio ΟΡ,
CN ad NE, immo ut
proportio CΡ ad ΡΟ.
Et erat AD sesquialtera
D C ; er go AO est
sesquialtera OP et OΡ
sesquialtera CΡ. Ergotres
lineae AO, OΡ, ΡC sunt
proportionales, et in
eadem mensura, in qua
est PC quattuor, erit OΡ
sex et AO nonem et CA
nouendecim. Et quia ΡO
aequalis est EF, erit propotio
AC ad EF ut
nouendecim ad sex. lgitur
reperimus dictam proportionem.
Etiam si fuerit
AD ad DC qualiscunque,
ut sesquitertia aut sesquiquarta
aut alia, erit
iudicium et ratio uti
dictum est. Et hoc est quod
uoluimus. 7. Si circul us circa quadratum
descriptus fuerit,
et alius intra illum, utique
erit circumscriptus duplus
inscripti. Sit itaque circulus comprehendens
quadratum
AB circulus AB et inscriptus
CD, et sit diameter
quadrati AB, et est
diameter circuli circumscripti,
et educamus CD
diametrum circuli inscripti
parallelam ipsi AE,
quae est ei aequalis. Et
quia quadratum AB
duplum est quadrati
AE siue DC, et proportio
quadratorum ex
diametris circulorum est

 
eadem proportioni circuli
ad circulum, igitur
circulus AB duplus est
circuli CD. Et hoc est
quod uoluimus. 8. Si egrediatur in circulo
linea AB ubicunque et
producatur in directum,
et ponatur BC aequalis
semidiametro circuli, et
iungatur ex C ad centrum
circuli, quod est D, et
producatur ad E, erit
arcus AE triplus arcus
BF. Educamus igitur EG
parallelam ipsi AB, et
iungamus DB, DG, et
quia duo anguli DEG,
DGE sunt aequales, erit
angulus GDC duplus anguli
DEG. Et quia angulus

 
BDC aequa is est angulo
BCD, et angulus CEG
aequalis est angulo ACE,
erit angulus GDC duplus
anguli CDB et totus angu
us BDG triplus anguli
BDC. et arc us BG
aequalis arcui AE triplus
est arcus BF. Et hoc est
quod noluimus. 9. Si mutuo se secuerint
in circulo duae lineae AB,
CD (sed non in centro)
ad angulos rectos, utique
duo arcus AD, CB sunt
aequales duobus arcubus
AC, DB. Educamus diametrum
EF parallelam ipsi AB,
quae secet CD bifariam
in G ; erit EC aequalis
ipsi ED. Et quia tam

 
arcus EDF quam ECF est
semicirculus, et arcus ED
aequa is arcui EA cum
arcu AD, erit arcus CF
cum duobus arcubus EA,
AD aequalis semicirculo.
Et arcus EA aequalis
arcui BF ; ergo arcus CB
cum arcu AD aequalis
est semicirculo. Et remanent
duo arcus EC, EA,
nempe arcus AC, cum
arcu DB aequales illi. Et
hoc est quod uoluimus. 10. Si fuerit circulus AΒC
et DA tangens illum et
DB secans illum et DC
etiam tangens, et educta
fueri CE parallela ipsi
DB, et iuncta fuerit EA
secans DB in F, et educta
fuerit ex F perpendicularis

 
FG super CE, utique
bifariam secabit illam in
G. lungamus AC. Et quia
DA est tangens et AC
secans circulum, erit
angulus DAC aequalis
angulo cadenti in alterno
segmento AC, nempe angulo
AEC. Et est aequalis
angul o AFD, eo quod
CE, BD sunt parall elae;
ergo anguli DAC, AFD
sunt aequales. Et in duobus
triangulis DAF, AHD
sunt duo anguli AFD,
HAD aequales, et angulus
D com m unis;
propterea erit rectangulum
FD in DH aequale
quadrato DA, immo quadrato
DC. Et quia
proportio FD ad DC est
eadem proportioni CD
ad DH, et angulus D

 
comnunis, erunt triangula
DFC, DCA similia,
et angulus DFC aequalis
DCΗ, qui aequalis est
angulo DAH. Et hic est
aequalis angulo AFD;
ergo duo anguli AFD,
CFD sunt aequales. Et
DFC aequalis angulo
FCE ; et erat DFA aequalis
angulo AEC; ergo in
triangulo FEC sunt duo
anguli C, E aequales et
duo anguli G recti et
latus GE commune;
propterea erit CG aequalis
ipsi GE. Ergo CE
bifariam secatur in G. Et
hoc est quod noluimus.