11.

Si mutuo se secuerint in circulo duae lineae AB, CD ad angulos rectos in Ε, quod non sit in centro, utique omnia quadrata AE, BE, EC, ED aequalia sunt quadrato diametri.

Educamus diametrum AF, et iungamus lineas

AC, AD, CF, DB. Et quia angul us AED est rectus, erit aequalis angulo ACF. Et angulus ADC aequalis AFC, eo quod sunt super arcum AC ; et remanent induobus triangulis ADE, AFC duo anguli CAF, DAE aequales ; erunt pariter duo arcus CF, DB aequales, immo et duae chordeae eorum aequales. Et duo quadrata DE, EB aequantur quadrato BD, nempe CF, et duo quadrata AE, EC aequantur quadrato CA, et duo quadrata CF, CA aequantur quadrato FA, nempe diametri ; igitur quadrata AE, EB, CE, ED omnia sunt aequalia quadrato diametri. Et hoc est quod uoluimus.

12.

Si fuerit semicirculus super diametrum AB, et eductaefuerint ex C duae lineae tangentes illum in duobus punctis D, E, et

iunctae fuerint EA, DB se mutuo secantes in F, et iuncta fuerit CF et producatur ad G, erit CG perpendicularis ad AB.

lungamus DA, EB. Et quia angulus BDA est rectus, erunt duo anguli DAB, DBA reliqui in triangula o DAB aequales uni recto. Et angulus AEB rectus ; igitur sunt aequales ei. Et ponamus angulum FBE communem; ambo anguli DAB, ABE sunt aequales FBE, FEB, immo angulo DFE externo in FBE. Et quia CD est tangens circulum et DB secans illum, angulus CDB aequatur angulo DAB, et pariter angulus CEF aequatur angulo EBA ; ergo duo anguli CEF, CDF simul aequales sunt angulo DFE. Et iam quidem planum fit ex nostro tractatu de figuris quadrilateris quod, si educantur inter duas lineas aequales sibi occurrentes in aliquo puncto, uti sunt duae lineae CD, CE, duae lineae se mutuo secantes, uti sunt duae lineae DF, EF, et fuerit angulus ab illis contentus, ut est angulus F, aequalis duobus angulis, qui occurrunt duabus lineis se inuicem secantibus, uti sunt duo angu i E, D, simul, erit linea egrediens a puncto concursus ad punctum sectionis, uti est linea CF, aequalis cuilibet linearum sibi occurrentium, ut CD uel CE ; propterea erit CF aequalis ipsi CD; ergo angulus CFD est aequalis angulo CDF, nempe angulo DAG, Sed angulus CFD cum angulo DFG est aequalis duobus rectis ergo angulus DAG cum angulo DFG aequalis est duobus rectis ; et remanent in quadrilatero ADFG duo anguli ADF, AGF aequales duobus rectis. Set angulus ADB rectus est ergo angulus AGC est rectus et CG perpendicu aris ad AB. Et hoc est quod uol nimus.

13.

Si mutuo se secent duae lineae AB, CD in circulo, et fuerit AB diameter illius, at non CD, et educantur ex duobus punctis A, B duae perpendiculares ad CD, quae sint AE, BF, utique abscindent ex illa CF, DE aequales.

lungamus EB et educamus ex l, quod est centrum, perpendicularem IG super CD et pr oducamus eam ad H in EB. Et quia lG est

perpendicularis ex centro ad CD, illam bifariam diuidet in G ; et quia ΙG, AE sunt duae perpendiculares super illam, erunt parallelae. Et quia BI aequalis est IA, erit BΗ aequalis ipsi ΗE ; et propter earum aequalitatem, et quia BF est parallela ipsi HG, erit FG aequalis ipsi GE, et ex GC, GD aequalibus remanent FC, ED aequales. Et hoc est quod noluimus.

14.

Si fuerit AB semicirculus, et ex eius diametro AB dissectae sint AC, BD aequales, et efficiantur super lineas AC, CD, DB semicircul i, et sit centrum duorum semicirculorum AB, CD punctum E, et sit EF perpendicularis super AB et producatur ad G, utique circulus, cuius diameter est FG, aequalis est superficiei contentae a semicirculo maiori et a duobus semicirclis, qui sunt intra i lum, et a semicirculo medio, qui est extra illum. Et est figura, quam uocat Archimedes Salinon.

Quia DC bifariam secatur in E, et addita est iili CA, erunt duo quadrata DA, CA dupla duorum quadratorum DE, EA. Sed FG aequalis est ipsi DA ; ergo duo quadrata FG, AC dupla sunt duorum quadratorum DE, EA. Et quia AB dupla est AE, et CD dupla quoque ED, erunt duo quadrata AB, DC

quadrupla duorum quadratorum DE, EA, immo dupla duorum quadratorum GF, AC. Simi iter etiam duo circuli, quorum diametri sunt AB, DC, dupli sunt eorum, quorum diametri sunt GF, AC, et dimidii eorum, quorum diametri sunt AB, CD, aequales duobus circulis, quorum diametri sunt GF, AC. Sed circulus, cuius diameter AC, est aequalis duobus semicirculis AC, BD ; ergo, si auferamus ex illis duos semicirculos AC, BD, qui sunt communes, remanet figura contenta a quattuor semicirculis AB, CD, DB, AC, (quae ea est, quam uocat Archimedes Salinon) aequalis circulo, cuius diameter est FG. Et hoc est quod uoluimus.

15.

Si fuerit AB semicirculus et AC chorda pentagoni, et semissis arcus AC sit AD, iungatur gatur CD et producatur, ut cadat super E, et iungatur DB, quae secet CA in F, et ducatur ex F perpendicularis FG super AB, erit linea EG aequalis semidiametro circuli.

lungamus itaque lineam CB, et sit centrum H, et iungamus HD, DG et AD. Et quia ango us AHC, cuius basis est latus pentagoni, est duae quintae partes recti, quilibet duorum angulorum CBD, DHA est quinta pars recti. Et angulus DHA duplus est anguli DBH ; ergo angulus DHA est duae quintae partes recti. Et quia in duobus triangulis CBF, GBF duo anguli B sunt aequales et G, C recti et latus FB commune, erit BC aequale ipsi BG. Et quia in duobus triangulis CBD, GBD duo latera CB, BG sunt aequalia et similiter duo anguli ad B, et latus BD commune, erunt duo anguli BCD, BGD aequales. Et quilibet eorum est sex quintae partes recti, et est aequalis ang ulo DAE externo quadrilateri BADC, quod est in circulo; ergo remanet angulus DAB aequalis angulo DGA, et erit DA aequalis ipsi DG. Et quia angulus DHG est duae quintae partes recti et angulus DGΗ sex quintae partes recti, remanet angulus HDG duae quintae partes recti, et erit DG aequalis GH. Et quia ADE externus quadrilateri ADCB, quod est in circulo, est aequalis angul CBA, et est duae quintae partes recti et aequalis angulo GDH. Et quia in duobus triangulis EDA, HDG sunt duo anguli EDA, HDG aequales et pariter duo anguli DGH, DAE et duo latera DA, DG, erit EA aequale HG. Et ponamus AG commune; erit EG aequale AH. Et hoc est quod uoluimus.

Et hinc patet quod linea DE aequalis sit semidiametro circuli; quia angulus A aequalis est angulo DGH, ideo erit linea DH aequalis lineae DE.

Et dico quod EC diuiditur media et extrema proportione in D, et maius segmentum est DE ; et hoc, quia ED est chorda hexagoni et DC decagoni, et hoc iam demonstratum est in libro Elementorum. Et hoc est quod noluimus.