Si mutuo se tangant duo circuli, ut duo circuli AEB, CED in E, fuerintque eorum diametri parallelae, ut sunt duae diametri AB, CD, et iungantur duo puncta B, D et contactus E rectis DE, BD, erit linea BE recta.

Sint duo centra G, F, et iungatur GF, et producam ad E, et educamus DH parallelam ipsi GF.

Et quia HF aequali est ipsi GD, suntque GD, EG aequales, ergo ex aequa ibus FB, FE remanebunt GF, nempe DH et HB, quae erunt aequal es, atque duo anguli HDB, HBD aequa es. Et quia duo anguli EGD. EFB sunt recti, atque duo anguli EGD, DHB sunt aequales, remanebunt duo anguli GEU, GDE, qui inter se et duobus angulis HDB, HBD aequales erunt ; ergo angulus EDG aequalis est angulo DBF Et comprehensus angulus GDB est communis ; ergo erunt duo anguli GDB, FBD, (qui sunt pares duobus rectis), aequales duobus angulis GDB, GDE. Igitur ipsi quoque sunt aequales duobus rectis ; ergo linea EDB est recta. Et hoc est quod noluimus.

Sit CBA semicirculus, quem DC, DB tangant, et BE perpendicularis super AC, et iungamus AD ; erit BF aequalis ipsi FE.

Demonstratio. lungamus AB eamque producamus us in directum et educamus CD quousque illi occurrat in G, et iungamus CB. Et quia angulus CBA est in semicirculo, erit rectus ; remanet CBG rectus, et DBEC est parallelogrammum rectangulum. Ergo in triangulo GBC rectangulo educitur perpendicularis BD ex B erecta super basim, et BD, DC erunt aequales eo quod tangunt circulum ; ergo CD est etiam aequalis ipsi DG, quemadmodum ostendimus in propositionibus, quas confecimus de rectangulis. Et quia in triangulo GAC linea BE educta est parall ela basi, et iam educta est ex D semipartitione basis linea DA secans parallelam in F, erit BF aequalis ipsi FE. Et hoc est quod noluimus.

Sit CA segmentum circuli et B punctum super illud ubicunque et BD perpendicularis super AC et segmentum DE aequale DA et arcus BF aequalis arcui BA ; utique iuncta CF erit aequalis ipsi CE.

Demonstratio. lungamus lineas AB, BF, FE, EB. Et quia arcus ΒA aequalis est arcui BF, erit AΒ aequa is BF. Et quia AD aequalis est ED, et duo anguli D sunt recti, et DB communis, ergo AB aequalis est BE, et propterea BF, BE sunt aequales, et duo anguli BFE, BEF sunt aequales. Et quia quadrilaterum CFBA est in circulo, erit angulus CFB cum angulo CAB ipsi opposito, immo cum angulo BEA, aequalis duobus rectis. Sed angulus CEB cum angulo BEA aequales sunt duobus rectis ; ergo duo anguli CFB, CEB sunt aequales. Et remanent CFE, CEF aequales ; ergo CE aequalis est CF. Et hoc est quod noluimus.

Sit AHC semicirculus, et fiant super A diametrum duo semicirculi, quorum unus AD, alter uero DC, et DB perpendicularis; utique figura proueniens, quam uocat Archimedes Arbelon (est figura comprehensa ab arcu semicircul i maioris et duabus circumferentiis semicirculorum minorum) est aequalis circulo, cuius di amet er est perpendicularis DB.

Demonstratio. Quia linea OB media proportionalis est inter duas lineas DA, DC, erit planum AD i n DC aequale quadrato DB. Et ponamus AD in DC cum duobus quadratis AD, DC communiter ; fiet planum AD in DC bis cum duobus quadratis AD, DC, nempe quadratum AC, aequale duplo quadrati DB cum duobus quadratis AD, DC. Et proportio circulorum eadem est ac proportio quadratorum ; ergo circulus, cuius diameter est AC, aequalis est duplo circuli, cuius diameter est DB, cum duobus circulis, quorum diametri sunt AD, DC, et semicirculus AC aequalis est circulo, cuius diameter est DB, cum duobus semicirculis AD, DC. Et auferamus duos semicirculos AD, DC communiter ; remanet figura, quam continent semicirculi AC, AD, DC et est figura quam uocavit Archimedes Arbelos) aequalis circulo, cuius diameter est DB. Et hoc est quod uoluimus.

Si fuerit semicirculus AB, et signatum fuerit in eius diametro punctum C ubicunque, et fiant super diametrum duo semicirculi AC, CB, et educatur ex C perpendicularis CD super AB, et describantur ad utrasque partes duo circuli tangentes illam et tangentes semicirculos, utique illi duo circuli sun aequales.

Demonstratio. Sit alter circulorum tangens DC in E et semicirculum AB in F et semicirculum AC in G, et educamus diametrum HE ; erit parallela diametro AB, eo quod duo anguli HEC, ACE sunt recti. Et iungamus FH, HA ; ergo linea AF est recta, uti dictum est in propositione I. Et occurrent AF, CE in D, eo quod egrediuntur ab angulis A, C, minoribus duobus rectis.

Et iungamus etiam FE, EB ; ergo EFB est etiam recta, ut diximus, et perpendicularis super AD, eo quod angulus AFB est rectus, quia cadit in semicirculum AB. Et iungamus HG, GC ; erit HC etiam recta. Et iungamus EG, GA erit EA recta ; et producam us eam ad l et iungam us BI, quae erit etiam perpendicularis super AI, et iungamus DI. Et quia AD, AB sunt duae rectae et educta ex D ad ineam AB perpendicularis DC et ex B ad DA perpendicularis BF, quae se mutuo secant in E, et educta AE ad l est perpendicularis super Bl, erunt BID rectae, quemadmodum ostendimus in propositionibus, quas confecimus nexpositione tractatus de triangulis rectangulis. Et quia duo anguli AGC, AlB sunt recti, utique BD, CG sunt parallelae, et proportio AD ad DΗ, quae est ut AC ad HE, est ut proportio AB ad BC ; ergo rectangulum AC in CB aequale est rectangulo AB in HE. Et similiter demonstratur in circuio LMN quod rectangulum AC in CB aequale sit rectangulo AB in suam, diametrum, et demonstratur inde etiam quod duae diametri circulorum EFG, LMN sint aequales ; ergo illi duo circuli sunt aequales. Et hoc est quod uoluimus.