ς΄. Παντὸς ἡμισφαιρίου τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας ἐστίν, ἥ ἐστιν ἄξων αὐτοῦ, τμηθείσης οὕτως, ὥστε τὸ τμῆμα αὐτῆς τὸ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἡμισφαιρίου πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ τρία. Ἔστω σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ κέντρου, καὶ γενέσθω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τομὴ ὁ ΑΒΓ△ κύκλος, διάμετροι δὲ ἔστωσαν τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, Β△, ἀπὸ δὲ τῆς Β△ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ, καὶ ἔστω κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, πλευραὶ δὲ ἔστωσαν τοῦ κώνου αἱ ΒΑ, Α△, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ, καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ νοείσθω ζυγὸς ἡ ΘΓ εὐθεῖα, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Α, καὶ ἤχθω τις ἐν τῷ ΒΑ△ ἡμικυκλίῳ ἡ ΞΟ παράλληλος οὖσα τῇ Β△, τεμνέτω δὲ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὰ Ξ, Ο, τὰς δὲ τοῦ κώνου πλευρὰς κατὰ τὰ Π, Ρ σημεῖα, τὴν δὲ ΑΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τῆς ΞΟ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΕ· ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ ἡμισφαιρίῳ τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῷ κώνῳ τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ, τὸ ἀπὸ ΞΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ, τῷ δὲ ἀπὸ ΞΑ ἴσα τὰ ἀπὸ ΑΕ, EΞ, τῇ δὲ ΑΕ ἴση ἡ ΕΠ, ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΑΕ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΞΕ, EΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ. Ὡς δὲ τὰ ἀπὸ ΞΕ, ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΞΟ καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ, καί ἐστιν ἡ ΓΑ τῇ ΑΘ ἴση ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΞΟ καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΠΡ. Ἰσορροπήσουσιν ἄρα περὶ τὸ Α σημεῖον ἀμφότεροι οἱ κύκλοι, ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, αὐτοῦ μένοντες τῷ κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, μετενεχθέντι καὶ τεθέντι κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτοῦ τοῦ βάρους τὸ Θ. Ἐπεὶ οὖν ἀμφοτέρων μὲν τῶν κύκλων, ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, αὐτοῦ μενόντων κέντρον τοῦ βάρους ἐστὶν τὸ Ε, τοῦ δὲ κύκλου, οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΠΡ, μετενεχθέντος τὸ Θ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ, πρὸς τοὺς κύκλους, ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ παράλληλος τῇ Β Η △, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀναστα θῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ , ἰσορροπ ήσουσιν περὶ τὸ Α σημεῖον ἀμφότερ οι οἱ κύκλοι ὅ τε ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ γενό μεν ος κ αὶ ὁ ἐν τῷ κών ῳ αὐ τοῦ μένοντες τῷ γ ενομένῳ κύκλῳ ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τε θέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ. Συμπληρωθέντων οὖν ὑπὸ τῶν κύκλων τοῦ τε ἡμισφαιρίου καὶ τοῦ κώ νου ἰσορ ροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον πάντες οἱ κύκλο οἱ ἐν τῷ ἡμισφαι ρίῳ καὶ οἱ ἐν τῷ κώνῳ αὐτοῦ μένοντες πᾶσι τοῖς κύκλοις τοῖς ἐν τῷ κώνῳ μετενεχθεῖσι καὶ τεθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέντρον εἶναι αὐτῶν τοῦ βάρους τὸ Θ ὥστε ἰσορροπήσουσι περὶ τὸ Α σημεῖον τό τε ἡμισφαίριον καὶ ὁ κῶνος αὐτοῦ μένοντα τῷ κώνῳ μετενεχθέντι καὶ τεθέντι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ οὕτως, ὥστε κέν τρον αὐτοῦ εἶναι τοῦ βάρους τὸ Θ σημεῖον δ ἔλασσον τῶν δὲ   ἰσορροπ ού ντ ων κατὰ τὸ Α τρ τὸ καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ Θ Α πρὸς ΑΧ, ἄξων ὁ ΑΗ τά μον ση μεῖ ον κῶνον τοῖ ς τοῦ κώνου καὶ ἐπεὶ τετρα πλασία ἐστὶν ἡ σφαῖρα τοῦ κώνου, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος, ἄξων δὲ ἡ ΑΗ . ζ΄. Θεωρεῖται δὲ διὰ τοῦ τρόπου πού του καὶ ὅτι π ᾶν τμᾶμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον  τὸν βάσιν ἔχοντα τὴν αὐ τὴν τῷ τμήματι καὶ ἄξονα τὸν αὐτὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος τω ὀρθὴ τὸ αὐτὸ παρὰ καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΓ ποιήσει δὴ τοῦτο ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν κύκλον, οὗ ἐστι διάμετρος ἡ ΜΝ, ἐν δὲ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τομὴν κύκλον, οὗ διάμετρος ἡ ΞΟ, ἐν δὲ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, κύκλον, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΠΡ. Ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἰσόρροπος περὶ τὸ Α σημεῖον ὁ κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΜΝ, αὐτοῦ μένων ἀμφοτέροις τοῖς κύ κλοις, ὧν διάμετροι αἱ ΞΟ, ΠΡ, μετεν εχθεῖσι τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ, ὥστε ἑκατέρου αὐτῶν κέντρον τοῦ βάρους εἶναι τὸ Θ· ὁμοίως δὲ ἐπὶ πάντων . Συμπληρωθέντων οὖν καὶ τοῦ κυλίνδρου καὶ τοῦ κώνου καὶ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ὑπὸ τῶν κύκλων ἰσορροπήσει καὶ ὁ κύλινδρος αὐτοῦ μένων συναμφοτέροις τῷ τε κώνῳ καὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας μετενηνεγμένοις καὶ κειμένοις τοῦ ζυγοῦ κατὰ τὸ Θ. Τεμνέσθω δὲ ἡ ΑΗ κατὰ τὰ Φ, Χ σημεῖα οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΑΧ εἶναι ἴσην τῇ ΧΗ, τὴν δὲ ΗΦ τρίτον μέρος τῆς ΑΗ ἔσται δὴ τοῦ μὲν κυλίνδρου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Χ διὰ τὸ διχοτομίαν εἶναι τοῦ ΑΗ ἄξονος. Ἐπεὶ οὖν ἰσορροπεῖ περὶ τὸ Α σημεῖον τὰ εἰρημένα μεγέθη, ἔσται ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς ἀμφότερον τόν τε κῶνον, οὗ διάμετρος τῆς βάσεως ἡ ΕΖ, καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ΒΑ△, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ. Καὶ ἐπεὶ τριπλ ασία ἐστὶν ἡ ΗΑ τῆς ΗΦ, τρίτον μέρος ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΦ τοῦ ὑπὸ ΑΗ, ΗΓ. Ἴσον δὲ τῷ ὑπὸ ΑΗ, ΗΓ τὸ ἀπὸ ΗΒ ἔσται δὴ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΗ τρίτον μέρος τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΗΦ ὑπὸ ΗΓ τὸ δὲ ἀπὸ ΑΗ ὑπὸ ΗΓ τῆς ΚΛ τρον οὕτως ὁ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν. . κύκλος πρὸς τὸν ὁ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος πρὸς τὸν ΑΕΖ κῶνον. Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΘΑ πρὸς ἄρα ἡ πρὸς τὸν κῶνον. Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΧ, οὕτως ὁ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρ ον τὴν ΚΛ κύκλος πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας τὸ ΑΒ△ καὶ τὸν κῶνον· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς συναμφοτέρας τὰς τὸ ΑΒ△ τμῆμα τῆς σ φαίρ ας τα καὶ ὅ τε ὡς τὸ ΑΒ△ τμῆμα πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ ἐστι βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν κύκ λος , ἄξων δὲ ὁ α ὑτός, οὕτως Χ πρὸς ὡ ς δὲ ὁ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν Κ Λ κύκλος, πρὸς τὸν ΑΒ△ κῶνον, οὕτως τω πρὸς Β η . Φ ὡς ἡ ἡ Α. Τῇ καὶ ἡ ΗΓ καὶ .