ιδ΄.

Ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις, καὶ ἔστω αὐτοῦ μία τῶν βάσεων τὸ ΑΒΓ△ τετράγωνον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύλινδρος, καὶ ἔστω τοῦ κυλίνδρου βάσις ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν τοῦ

ΑΒΓ△ πλευρῶν κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, διὰ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς τῆς ἐν τῷ κατεναντίον ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΒΓ△ τῆς κατὰ τὴν Γ△ ἐπίπεδον ἤχθω· ἀποτεμεῖ δὴ τοῦτο ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος ἄλλο πρίσμα, ὃ ἔσται τέταρτον μέρος τοῦ ὅλου πρίσματος, αὐτὸ δὲ τοῦτο ἔσται περιεχόμενον ὑπὸ τριῶν παραλληλογράμμων καὶ δύο τριγώνων κατεναντίον ἀλλήλοις. Γεγράφθω δὴ ἐν τῷ ΕΖΗ ἡμικυκλίῳ ὀρθογωνίου κώνου τομή, ἔστω δὲ ἐν τῇ τομῇ τῆς ἡ ΖΚ, καὶ ἤχθω τις ἐν τῷ  △Η παραλληλογράμμῳ ἡ ΜΝ παράλληλος οὖσα τῇ ΚΖ· τεμεῖ δὴ αὕτη τὴν μὲν τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ξ, τὴν δὲ τοῦ κώνου τομὴν κατὰ τὸ Λ. Καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΜΝΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΖ· τοῦτο γάρ ἐστι σαφές· διὰ τοῦτο δὴ ἔσται ὡς ἡ ΜΝ πρὸς ΝΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΣ. Καὶ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον ἀνεστάτω ὀρθὸν πρὸς τὴν ΕΗ· ποιήσει δὴ τὸ ἐπίπεδον ἐν τῷ πρίσματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔσται μία τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΜΝ, ἡ δὲ ἑτέρα ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τῷ ἀπὸ τῆς Γ△ ὀρθὴ πρὸς τὴν Γ△ ἀναγομένη ἀπὸ τοῦ Ν ἴση τῷ ἄξονι τοῦ κυλίνδρου, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν αὐτῷ τῷ τέμνοντι ἐπιπέδῳ· ποιήσει δὲ καὶ ἐν τῷ τμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἀχθέντος διὰ τῆς ΕΗ καὶ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς τῆς κατεναντίον τῇ Γ△ τομὴν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔσται μία τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΜΞ, ἡ δὲ ἑτερα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου ἀνηγμένη ἀπὸ τοῦ Ξ ὀρθὴ πρὸς τὸ ΚΝ ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ἐν τῷ τέμνοντι ἐπιπέδῳ. Ὁμοίως οὖν, ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΜΝ, ΜΛ τῷ ἀπὸ ΜΞ· τοῦτο γὰρ φανερόν ἐστιν· ἔσται ὡς ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ. Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ τρίγωνον τὸ ἐν τῷ πρίσματι γενόμενον πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΞ τρίγωνον τὸ ἐν τῷ τμήματι ἀφῃρημένον ὑπὸ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας· ὡς ἄρα ἡ ΜΝ πρὸς ΜΛ, οὕτως τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον. Ὁμοίως δὲ δείξομεν καί, ἐὰν ἄλλη τις ἀχθῇ ἐν τῷ περὶ τὴν τομὴν περιγραφἐντι παραλληλογράμμῳ παρὰ τὴν ΚΖ, καὶ ἀπὸ τῆς ἀχθείσης ἐπίπεδον ἀνασταθῇ ὀρθὸν πρὸς τὴν ΕΗ, ὅτι ἔσται ὡς τὸ τρίγωνον τὸ γενόμενον ἐν τῷ πρίσματι πρὸς τὸ   τμήματι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, οὕτως ἡ ἀχθεῖσα ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ παράλληλος τῇ ΚΖ πρὸς τὴν ἀποληφθεῖσαν ὑπὸ τῆς ΕΗΖ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ διαμέτρου. Συμπληρωθέντος οὖν τοῦ △Η παραλληλογράμμου ὑπὸ τῶν ἡγμένων παρὰ τὴν ΚΖ καὶ τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς διαμέτρου ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων ἐν τῷ τμήματι συμπληρω τοῦ τμήματος τοῦ ἐν τῷ ἀπὸ τοῦ γινομ πων τά γ α καὶ τῷ △Η δὲ ετι μα η ετι ἀπ ἀγομένων παρὰ τὴν ΚΖ τομῆς καὶ ει ταῖς ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ ἠγμέναις παρὰ τὴν ΚΖ, καὶ ἔσται ὡς πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῷ πρίσματι πρὸς πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἐν τῷ ἀποτμηθέντι τμήματι τοῦ κυλίνδρου ἀφῃρημένα, οὕτως πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι αἱ ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ πρὸς πάσας τὰς εὐθείας τὰς μεταξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. Καὶ ἐκ μὲν τῶν ἐν τῷ πρίσματι τριγώνων σύγκειται τὸ πρίσμα, ἐκ δὲ τῶν ἐν τῷ ἀποτμήματι τῷ ἀποτμηθέντι ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου τὸ ἀπότμημα, ἐκ δὲ τῶν ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ παραλλήλων τῇ ΚΖ τὸ △Η παραλληλόγραμμον, ἐκ δὲ τῶν   μεταξὺ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ τὸ τμῆμα τῆς παραβολῆς· ὡς ἄρα τὸ πρίσμα πρὸς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, οὕτω τὸ △Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΖΗ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. Ἡμιόλιον δὲ τὸ △Η παραλληλόγραμμον τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας· δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς πρότερον ἐκδεδομένοις· ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ πρίσμα τοῦ ἀποτμήματος τοῦ ἀφῃρημένου ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου· οἵων ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο, τοιούτων ἐστὶ τὸ πρίσμα τριῶν. Οἵων δὲ τὸ πρίσμα τριῶν, τοιούτων ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα τὸ περιέχον τὸν κύλινδρον ιβ διὰ τὸ δ΄ εἶναι τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου οἵων ἄρα τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου δύο, τοιούτων ἐστὶν τὸ ὅλον πρίσμα ιβ ὥστε τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος.

ιε΄.

Ἔστω πρίσμα ὀρθὸν τετραγώνους ἔχον βάσεις, ὧν μία ἔστω τὸ ΑΒΓ△ τετράγωνον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ πρίσμα κύλινδρος, οὗ βάσις ἔστω ὁ ΕΖΗ κύκλος· ἐφάπτεται δὴ οὗτος τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα· κέντρον δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ διὰ τῆς ΕΗ διαμέτρου καὶ μιᾶς πλευρᾶς ἐπίπεδον ἤχθω τοῦτο δὴ τὸ ἐπίπεδον ἀποτέμνει πρίσμα ἀπὸ τοῦ ὅλου πρίσματος καὶ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ἀπότμημα κυλίνδρου. Λέγω δὴ ὅτι τοῦτο τὸ τμῆμα τὸ ἀποτετμημένον ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τοῦ ἀχθέντος ἐπιπέδου ἕκτον μέρος ὂν δειχθήσεται τοῦ ὅλου πρίσματος.

Πρῶτον δὲ δείξομεν ὅτι δυνατὸν ἔσται εἰς τὸ τμῆμα τὸ ἀποτμηθὲν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου σχῆμα στερεὸν ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ἐκ πρισμάτων συγκείμενον ἴσον ὕψος ἐχόντων καὶ βάσεις τριγώνους ἐχόντων ὁμοίας, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος ὑπερέχειν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος μεγέθους γὰρ τοῦ πρίσματος τοῦ κατὰ τὸ Β△ παραλληλογράμμου καὶ ω γραμμένου. ω το Ξ. ἐπιπέδῳ σημεῖα τοῦ ατος η ρετό . πω νομεν εστ σων ἔστω το λειπόμενον νι . μια ἐλασ ν τοῦ λείμματος. στ ε ει καὶ ει α τω . ει το ατα τω ἐκ τμῆμα τὸν το ἀποτμηθ ἀπὸ δι ε μάτων μεν ων ται καὶ τῶν ἐγγεγραμμένω δι των κει τα ΚΩ παραλληλόγραμμον αμμον σχήματι πρίσμα ησ τὸ ἀπὸ δρου . ἐγγεγράφθω μια σχῆμα, τὸ εἰρημένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου ἔχει τοῦ δοθέντος ἐχέτω οσ τῶν πρισμὰτων   ἴσον αὐ ση-μεῖα ἐγγεγράφθω ν ἐσ

δευτέρῳ γεγρ γει η έτ- τμηται κατὰ τὸ αὐτὸ ἐγγεγραμμένον ἐν κύκλ τοῦ τμήματος τη συνθε . τ ἀπο μείζων ἐστὶν τοῦ ἐγγεγραμμένου τμήματος ἐν τῷ πρίσματι τῷ κατὰ τὸ ω

ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου στερεοῦ. Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἀφῃρημένον πρίσμα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον στερεὸν εἰς τὸ ἀπότμημα τὸ ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου, οὕτως τὸ △Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὰ ἐγγεγραμμένα παραλληλόγραμμα εἰς τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ἔλασσον ἄρα ἢ ἡμιόλιον τὸ △Η παραλληλόγραμμον τῶν παραλληλογράμμων τῶν ἐν τῷ τμήματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ὅπερ ἀδύνατον, ἐπεὶ τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας ἡμιόλιον δέδεικται τὸ △Η παραλληλόγραμμον ἐν ἑτέροις. Οὐκ ἄρα μεῖζον στε- ῥέον ἐτ ἀποτεμν σχῆμα τα ὀρθο περιγραφ τοῦ ἐγγρα- φέντος ἐν ἐπεὶ τμήματ ἐγγεγράφθω ἐν τῷ τμή ματι τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας τεγράφθω τοῦ ὀρθογωνίου κώνου φὲν περι ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ τοῦ κυλίνδρουτοῦ στερεοῦ τοῦ κυλίνδρου τμήματ ἐστὶν καὶ γραμμέν εχομεν νη Η τιν πρὸς τὸ τὸ ἐν τῷ περιεχομε γο τῆς ΕΗ καὶ τοῖς λόγοις αμμέν τιμήματος δρ νον ἀπὸ τῆς τῆς πλευρᾶς ἐν τῷ τετμήσθω ἐχθήσ τὸ μεῖζον εὐθείας καὶ πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῷ πρίσματι τῷ ἀποτετμημένῳ ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου πρὸς πάντα τὰ πρίσματα τὰ ἐν τῷ σχήματι τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ ἀπότμημα τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῷ △Η παραλληλογράμμῳ πρὸς πάντα τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐν τῷ σχήματι τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας, τουτέστιν τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον περὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν τὸ △Η παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον περὶ τὸ τμῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς καὶ τῆς ΕΗ εὐθείας. Μεῖζον δέ ἐστι τὸ πρίσμα τὸ ἀποτετμημένον ὑπὸ τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου ἢ ἡμιόλιον τοῦ στερεοῦ σχήματος τοῦ περιγεγραμμένου περὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου .