ι΄. Περὶ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν. Πρὸς μὲν οὖν τὴν ἐξ ἑτοίμου χρῆσιν κανονικήν τινα μετὰ ταῦτα ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος αὐτῶν τὴν μὲν περίμετρον εἰς τξ τμήματα διελόντες, παρατιθέντες δὲ τὰς ὑπὸ τὰς καθʼ ἡμιμοίριον παραυξήσεις τῶν περιφερειῶν ὑποτεινομένας εὐθείας, τουτέστι πόσων εἰσὶν τμημάτων ὡς τῆς διαμέτρου διὰ τὸ ἐξ αὐτῶν τῶν ἐπιλογισμῶν φανησόμενον ἐν τοῖς ἀριθμοῖς εὔχρηστον εἰς ρκ τμήματα διῃρημένης. πρότερον δὲ δείξομεν, πῶς ἂν ὡς ἔνι μάλιστα διʼ ὀλίγων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων εὐμεθόδευτον καὶ ταχεῖαν τὴν ἐπιβολὴν τὴν πρὸς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ποιοίμεθα, ὅπως μὴ μόνον ἐκτεθειμένα τὰ μεγέθη τῶν εὐθειῶν 1 μεταξύ] in ras. D3. 2. μεγίστου] supra scr. D3. πη- λίκη] -η e corr. C3. 3. τυγχάνει] om. A. 5. ἅπαξ] -π- e corr C. γε] corr. ex τε D3. μελλήσοντες] -σ- e corr. C3, mut. in μελλήσαντες B3D3. 7. ι΄] om. ACD. τῆς πηλι- κότητος] om. D. τῷ] om. D. 8. εὐθειῶν] εὐθειῶν καὶ ἔκ- θεσις κανονική D. 12. τὰς ὑπὸ τάς] scripsi, τάς ABCD. ἡμι- μοιρίαν D. παραυξήσεις] mut. in παραύξησιν D3. Deinde add. καὶ τάς B3. 13. ὑποτεινομένας] corr. ex ὑποτινομένας A. τουτέστιν C, comp. B. 14. πόσων] ὅσων BC. εἰσί D, comp. B. 17. μάλιστα] -ι- et -τ- e corr. D3. 18. εὐμεθό- δευτον] -μ- et -δ- e corr. D3. 19 τήν] om. D. πηλικό- τητας] -ας in ras. D. 20. ὅπως] -π- in ras. D3. ἔχωμεν ἀνεπιστάτως, ἀλλὰ καὶ διὰ τῆς ἐκ τῶν γραμμῶν μεθοδικῆς αὐτῶν συστάσεως τὸν ἔλεγχον ἐξ εὐχεροῦς μεταχειριζώμεθα. καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον διὰ τὸ δύσχρηστον τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ συνεγγίζοντος ἀεὶ καταστοχαζόμενοι, καὶ καθʼ ὅσον ἂν τὸ παραλειπόμενον ηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρῃ τοῦ πρὸς αἴσθησιν ἀκριβοῦς. Ἔστω δὴ πρῶτον ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶν πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου. ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον 1 ἔχωμεν] ἔχω- e corr. C3. τῶν] τ- e corr. D. 3. μετα- χειριζώμεθα] μεταχειριζόμεθα B, corr. in μεταχειριζοίμεθα D3. χρησόμεθα] corr. ex χρησώμεθα C2. 5. ἔτι] post ἔ- ras. 1 litt. D. τε] τ- ins. D3. 8. διαφέρει C. 10. δή] eras. D. 11 ΑΔΓ] e corr. D. Δ(pr )] corr. ex Α D3. 13. διήχθω D. 15. ἐπεζεύχθω ἡ] mut. in ἐπιζευχθείσης τῆς B3; ἐπιζευχθείσης τῆς, -εί- e corr., D. καί] om. D, eras. B. 16. αὐτῇ] αὐ]αυτῆι A, αὕτηι corr. in ταύτηι C3. καί — 17. ΖB] supra scr. D2. 16. ἐπεζεύχθω] corr. ex ἐπιζεύχθω C2. 17. ΖΒ] Ζ in ras A. λέγω] seq ras. 1 litt. A. ἡ] in ras. D3. 18. δεκαγώνου] e corr. D3. 19. BΖ] B- in ras. BC3, ΖΒ D. 21. E] seq. ras. 1 litt. C. 22 ΓΖ] in ras. D3. ὀρθοιγώνιον A. μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ Eucl. II, 6 , τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΖΕ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΒ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΔ καὶ ΔΒ τετράγωνα Eucl. I, 47 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ, ΔΒ τετραγώνοις. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΔ τετραγώνου λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ἡ ΖΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Δ Eucl. VI def. 3 . ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνονται Eucl. XIII, 9 , ἡ δὲ ΓΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιέχει πλευράν Eucl. IV, 15 coroll. , ἡ ΔΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ δεκαγώνου πλευρᾷ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων Eucl. XIII, 10 , τοῦ δὲ ΒΔΖ ὀρθογωνίου τὸ ἀπὸ 1. μετὰ τοῦ ἀ-] in ras C. EΔ] ΔΕ D. ἐστίν] ἐστί B, om. D. 2 τῷ — τουτέστιν] ins B3, om C. τουτέστι B. 3. τῷ] corr. ex τό C3. ἐπεί] mut. in ἐπειδήπερ D3. ἡ EΒ] supra scr. D3. 4. τῷ] corr. ex τὸ C3. ἐστίν D. τά] corr. ex τό C3. 5. τετραγωνα] comp. supra scr. D3. 7. ΔΕ] EΔ D. ἐπτί B. 8. ΔΒ] καὶ ΔΒ D. τετραγώνοις. καί] supra scr. D3. 9. τετραγώνου] ins. D3. τό] seq. ras. 1 litt. D. ὑπό] ὑ- e corr. D3. τῶν] corr. ex τῶ C. ΖΔ] Ζ ins. C. 10. τῷ (pr.)] corr. ex τό B2C3 11. ΖΓ] corr. ex ΖΙ C3. ἄρα] ἄρα εὐθεῖα D. 12 Δ] Δ. καί ἐστιν τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΔΓ D. ἡ] supra scr. A2, ins. B3. 13. εἰς] e corr. C2, corr. ex ἐκ B2. 14. ἐγγραφομένων] pr. γ supra scr. A2. 17. ἴση ἐστίν D. τῆς ΒΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἥτις ἐστὶν ἑξαγώνου πλευρά, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ Eucl. l, 47 , ἥτις ἐστὶν δεκαγώνου πλευρά, ἡ ΒΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἔφην, ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων ρκ, γίνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων λ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς Ϡ, ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων ξ καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς γχ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ δφ· μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων ξζ δ νε. ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν λζ δ νε. ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων λς, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ, τοιούτων ἔσται λζ δ νε, οἵων ἡ διάμετρος ρκ. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζ δ νε, τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς ατοε δ ιε, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν γχ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον δϠοε δ ιε, μήκει ἄρα ἔσται 1. ἴσον] supra scr. D3. 2. ἑξαγώνου πλευρά] in ras. A. 3. ἐστί B. 4. ἴση ἐστίν D. τοῦ] supra scr. D3. 5. ἐπεί] inc fol. 15 alia manu D. ἔφην] mut. in ἔφαμεν B3, sed euan. 8. ἀπʼ] ἀπό B. ΒΔ] ΔΓ, Δ in ras., C3. οὖσα] om. D. 9. ἀπό (pr)] A, ἀπʼ BCD. 10. ΕΖ] corr. ex ΕΞ D. 11. ἔσται] A, ἐστιν BCD ἡ] ins. C3. ΕΖ] corr. ex ΕΞ D. Post ἔγγιστα add. % C, mg (pro scholio): % ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔE λ΄. 12 ΔΖ] corr. ex ΔΞ D. 13. τοιούτων] -ων e corr. C. οἵων] -ω- corr. ex ο C3. 14. τοιούτων] corr. ex τοιοῦτον C3. ἔσται] comp. B, omnibus litteris mg. B2; simi- liter saepius; seq ras. D. δ] ins. D3. οἵων] corr. ex οἷον C3. 15. διάμετρος] ante μ ras 1 litt. A. πάλιν — 16. νε] BD, mg. A3 (κείμενον) et pro scholio C. 15. ἐπεί] δὲ ἐπεί A3. ἐστί] ἐστίν D, comp. BC. 16. ἀπό] ἀπʼ D. ιε] inter ι et ε ras A, mg. γρ. κε A2, supra ε scr. δ Β2. ἔστιν D. 17. ΔΒ] ΒΔ D. τῶν] corr. ex τῶ A2. συντεθέντα] alt. ν supra scr D3. 18. ΒΖ] supra Ζ ras D. ιε] supra ε scr. δ B2, ε in ras. D. Supra μήκει ras D. ἡ ΒΖ τμημάτων ο λβ γ ἔγγιστα. καὶ ἡ τοῦ πενταγώνου ἄρα πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας οβ, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ, τοιούτων ἐστὶν ο λβ γ, οἵων ἡ διάμετρος ρκ. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ξ, καὶ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν ξ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας Ϛ, δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ρκ, δυνάμει τῆς αὐτῆς ἐστιν τριπλασίων, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν γχ, συναχθήσεται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ζσ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τοῦ τριγώνου Μω. ὥστε καὶ μήκει ἡ μὲν τὰς μοίρας ὑποτείνουσα εὐθεῖα τοιούτων ἔσται πδ να ι ἔγγιστα, οἵων ἡ διάμετρος ρκ, ἡ δὲ τὰς ρκ τῶν αὐτῶν ργ νε κγ. αἵδε μὲν οὕτως ἡμῖν ἐκ προχείρου καὶ καθʼ αὑτὰς εἰλήφθωσαν, καὶ ἔσται φανερὸν ἐντεῦθεν, ὅτι τῶν διδομένων εὐθειῶν ἐξ εὐχεροῦς δίδονται καὶ αἱ ὑπὸ τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφερείας ὑποτείνουσαι 1. ο λβ) ολ β C. 2. οβ) supra rasuram D3. 4. δέ] δὲ καί D. καί] om. D. 5. μοίρας] μο AB, ut saepe μοι D semper fere. 8. μοίρας] μο ABC, μοι D. διπλασία] mut.in διπλασίων B2, διπλασίων D. 9. τοῦ] τοῦ ἰσοπλεύρου D. 12 τοῦ] om. D. 13. δέ] δʼ D. τοῦ] om. τριγώνου) τρι- in ras. D. Μα] C, corr. ex Μο AB2, μοι corr. ex μυ post ras. 7 litt. D3; αω add. mg C3. 15. ἔγγιστα] -στα add. D3. 17. Post μέν add. οὖν comp. C2. 18. Ante καί ras. 4 litt. D. ἔσται] corr. ex ἔστι D3, mut in ἔστω B2. ἐντεῦθεν] αὐτόθεν, supra αὐτό- ras. , D. τῶν διδομένων] διδομένων τῶν edd ; sed genetiuus reconditiore quodam modo a λειπούσας περιφερείας pendet. 19. αἱ] supra scr. B2C2. διὰ τὸ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντιθέμενα ποιεῖν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον· οἷον, ἐπειδὴ ἡ ὑπὸ τὰς λϛ μοίρας εὐθεῖα τμημάτων ἐδείχθη λζ δ νε καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ατοε δ ιε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τμημάτων ἐστὶν Μα δυ, ἔσται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον μοίρας ρμδ τῶν λοιπῶν Μα με, αὐτὴ δὲ μήκει τῶν αὐτῶν ριδ ζ λζ ἔγγιστα, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. ὅν δὲ τρόπον ἀπὸ τούτων καὶ αἰ λοιπαὶ τῶν κατὰ μέρος δοθήσονται, δείξομεν ἐφεξῆς προεκθέμενοι λημμάτιον εὔχρηστον πάνυ πρὸς τὴν παροῦσαν πραγματείαν. ἔστω γὰρ κύκλος ἐγγεγραμμένον ἔχων τετράπλευρον τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ καὶ ΒΔ. δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ. κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΕ. ἐὰν οὖν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ 2. οἷον] corr. ex οἴων B1C. 4 ιε] supra ε scr. δ B2. 5. Μα] corr. ex μο A, μυρι α e corr. D3. 6 μοίρας] μο mut in μοι A2. 7. Μα] corr. ex μο A2, λαυρι e corr. D3. γ] corr. ex δ D3. με] supra scr ϛ B2. 8. λζ] supra scr. ϛ B2. 9. λοιπαί] -οι- e corr. C2. τῶν] om. B. 11. πάνυ] om. B. 13 Mg. λῆμμα BC 14 τυχόν] om. D. ΑΓ] corr. ex ΑΒΓ D. 15. δεικτέον — ΒΔ] supra scr D3. ὅτι] οὖν ὅτι D. 16. τῷ] corr. ex τό C1. 17. ΑΒ, ΔΙ] e corr D3. τῷ] corr. ex τῶν D. κείσθω — 18. ΔΒΓ] supra scr. D3. 18 τῶν] om. D3. ἡ] supra scr D3. Post ABE add. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ (supra scr D3) ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ABE D et mg. pro scholio BC; % add. C3. οὖν] om. D, del. C. τῇ ὑπὸ BΓΕ ἴση Eucl. III, 21 τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνουσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ. ὥστε καὶ ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ Eucl. VI, 4 τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ Eucl. VI, 16 . πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΔΓ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ, ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΑΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ· καὶ ὅλον Eucl. II, 1 ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθωσαν 3. τῷ] e corr. D3. 5. τήν (alt.)] om D. 7 ΒΓ] τῶν ΓΒ D. 8 ΒΔ] ΔB C, τῶν ΒΔ corr. ex τὸ ΒΔ D3. 10. γωνίᾳ] om. D. 11. -πὸ BΔ — 12. τρίγωνον] mg. B1. 11. ἰσογώνιον — 12. τριγώνῳ] mg. C3. 11. ἐστί C3, comp. B. 12. ABE] BAE C3. τῷ] corr. ex πό B1, ex τό D3. ΒΓΔ ΒΔΓ BC3. τριγώνῳ] τριγωνώνωι etiam in textu C. 14. Ante ΒΑ ins. τῶν D3. ΔΓ] ΓΔ D. ἐστί B. τῷ] corr. ex τὸ D3. ΑΕ] ΕΑ D. 15. τό] corr. ex τῷ B1C3. ὑπό (pr.)] ὑπὸ τῶν B1D. ΒΓ — ὁπό] om. C. ΒΓ — ΓΕ] mg B1, in textu ras. 4 litt. ΒΓ, ΑΔ] ΒΔ, ΓΕ B1D. ἴσον] -ον in ras. A2. τῷ] corr. ex τό D3. ΒΔ, ΓΕ] τῶν ΒΓ, ΑΔ B1D. 16 ΑΓ] τῶν ΑΓ D. ἐστί D. 17. συναμφοτέροις] σ- corr. ex ν in scrib D. ΔΓ] ΓΔ D. 18. ΒΓ] ΓΒ D. 19. τοῦτο τὸ θεώρημα καθʼ ὑπεροχὴν λέγεται mg B pro scholio, γ mg. D. 20. Α] seq. ras. 1 litt. B. αἱ ΑΒ, ΑΓ καὶ ἔστω ἑκατέρα αὐτῶν δοθεῖσα τῷ μεγέθει, οἵων ἡ διάμετρος δοθεῖσα ρκ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι καὶ αὕτη δέδοται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΓΔ· δεδομέναι ἄρα εἰσὶν δηλονότι καὶ αὗται διὰ τὸ λείπειν ἐκείνων εἰς τὸ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ ἔσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ. καί ἐστιν τό τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ δοθὲν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ δοθέν ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΑΔ διάμετρος· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα. καὶ φανερὸν ἡμῖν γέγονεν, ὅτι, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ τὴν ὑπεροχὴν τῶν δύο περιφερειῶν ὑποτείνουσα εὐθεῖα. δῆλον δέ, ὅτι διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἄλλας τε οὐκ ὀλίγας εὐθείας ἐγγράψομεν ἀπὸ τῶν ἐν ταῖς καθʼ αὐτὰς 1. αὐτῶν] om. D. 2 ρκ] supra scr. D1. 4. ΒΔ] corr. ex ΒΛ C3. 5. ἄρα εἰσίν] om D. 8. τετράπλευρον] -πλευ- supra ras 2 litt. D. 9. ἄρα] supra scr. D. Post ὑπό add. τῶν D3. 10. τῶν] om. D. ΒΓ] Β e corr. B. 11. ΒΔ] ΒΔ ?? C, ΔΒ D. καί — 12. δοθέν] BD, mg. C3, om A. 11. ἐστιν D, comp B. 12 τε] om A. τῶν ΑΓ. ΒΔ] ΑΒ, ΓΔ D. καί] δοθὲν καί AC, δοθὲν δὲ καί A3. ΑΒ, ΓΔ] ΑΓ, ΒΔ D. 13. δοθέν ἐστιν] -ν del. C, ἐστιν δοθέν D. καί] ins D3. ἐστιν] mut in ἔτι B3, ἔτι D. 14. Post διάμετρος add δοθεῖσα B1C2. ἐστίν] ἔσται D. 16 αἱ ὑπʼ] corr ex ἐπʼ δοθεῖσα ἔσται] δοθεῖσαι ὦσιν ἔσται δο- θεῖσα D. ἔσται] mut. in ὦσι C2. 17. ὑπεροχήν] post ρ ras. 1 litt A. 18. ὅτι] ὅτι καί D. τε] mg B1. οὐκ] in ras. B1. 19. ὀλίγας] -λίγ- in ras D3. ἐγγράψομεν] pr. γ in ras. D3. καθʼ αὑτάς] κατʼ αὐτάς D. δεδομένων ὑπεροχῶν καὶ δὴ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς δώδεκα μοίρας, ἐπειδήπερ ἔχομεν τήν τε ὑπὸ τὰς ξ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς οβ. πάλιν προκείσθω δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ τὴν ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν εὑρεῖν. καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ ἡ ΓΜ περιφέρεια δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπεροχῆς. κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ, ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίν Eucl. III, 27 καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν Euel. I, 4 . ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἴση ἐστίν· καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος τριγώνου τοῦ ΔΕΓ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος 1. δεδομένων] δεδομέναις D, αις eras δώδεκα] ιβ D. 2. μοίρας] μο ὑποτείνουσαν D 3 Post οβ add D, ὅπερ ἔδει δεῖξαι D3. 4 δ mg D. εὐθείας τινός D. 5. ὑπό] ὑ- e corr D. 6. καί] om D. 7 εὐθεῖα ἡ ΓΒ καί] ins. D. ΓΒ] ΒΓ D. 10. αἱ] om. C. 13. ἐτιν D. 16. ΑΒ] ΒΑ D. δύο] δυσί D. ΑΕ] ΕΑ D. 17. ἴσαι] corr. ex ἴσα D. ἑκατέρα] seq. ras. 3 litt. B. 18. ΒΑΔ] corr. ex ΑΒΓ D3. ἐστίν] — 20 ἐστίν] mg B1. 19. καί] om. D. καί — 20 ἐστίν] om. C. 19 ἐστιν ἴση B. 20 ἀλλά] ἀλλὰ καί BD. ΔΓ] ΓΔ D. ἴση ἐστίν] A, ἐστιν ἴση BD. Seq καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν mg. B1, del. B2. ΔΓ] ΓΔ D. 22 ΔΕΓ] ΓΔΕ D. ἦκται ἡ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΓ Eucl. I, 26 . ἀλλʼ ἡ ΕΓ ὅλη ἡ ὑπεροχή ἐστιν τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ εὐθειῶν· ἡ ἄρα ΖΓ ἡμίσειά ἐστιν τῆς τῶν αὐτῶν ὑπεροχῆς. ὥστε, ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρεταν εὐθείας ὑποκειμένης αὐτόθεν δέδοται καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΑΒ, δοθήσεται καὶ ἡ ΖΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς τῶν ΑΓ καὶ ΑΒ ὑπεροχῆς. ἀλλʼ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τῷ ΑΓΔ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΔΖ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΓ ὁρθογώνιον τῷ ΔΓΖ Eucl. VI, 8 , καί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον. ὥστε καὶ μήκει ἡ ΓΔ εὐθεῖα δοθήσεται τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς ΒΓ περιφερείας. καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκτεθειμένων, καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς ιβ μοίρας ὑποτεινούσης εὐθείας ἥ τε ὑπὸ τὰς καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γ καὶ ἡ ὑπὸ τὴν μία ἥμισυ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ τέταρτον τῆς μιᾶς μοίρας. εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν 2. ἀλλά D. 4. εὐθείας] εὐθείας δοθείσης L. 5. ὑπο- κειμένης] del. D. Supra scr. ἤτοι δεδομένης B2, δεδομένης mg. C2. δέδοται] cor. ex δίδοται D. 6. Ante pr. ἡ ras. 1 litt. D. καί] postea ins. D3. 7. ἐπεί] om. D. 8. τῶ ΑΓΔ] τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ D. 9. ΑΔΓ] ΑΓΔ D. ΔΓΖ] ΓΔΖ corr. ex ΔΖ D3. 10 ΓΔ (alt )] mut. in ΔΓ C3. 11. ἴσον] add. D3. 12 δοθὲν δέ — 14. τετράγωνον] om. A. 12. δέ] δέ ἐστιν D. 13 ΓΖ] ΓΖ περιεχόμενον D. 15. τήν] e corr. A. ΒΓ] e corr. D3. περιφερείας] -ς e corr. C, περιφερείας ὅπερ ἔδει δεῖξαι D. 16. ε mg. D. 17. προεκ- τιθεμένων D. 19. ϛ] ἕξ B. 20. ἥμισυ (utrumque)] comp. BD. τό] τήν D. τέταρτον] δ΄ D (similia posthac non notabo). τὴν μὲν ὑπὸ τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν τοιούτων ᾱ λδ ιε ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, τὴν δὲ ὑπὸ τὸ U+2220΄δ΄ τῶν αὐτῶν o μζ η. πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν τὴν ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθωσαν δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΓ, δοθήσεται καὶ αὐτή. διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διάμετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ, ΓΕ, ΔΕ· δῆλον δὴ αὐτόθεν, ὅτι διὰ μὲν τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ, διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθήσεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΒΓΔΕ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΓΕ, τὸ ὑπὸ τῶν διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον· ὥστε, ἐπεὶ δεδομένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ, δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΔΕ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΓΔ. δέδοται 1. Supra ᾱ scr. ἑνός B3. 2. τό] τήν D. 3. U+2220΄] in ras. A. o] A, ο BCD, οὐδέν comp. A3D3. 7. ἐπιζεύχθω- σαν BC; ἐπιζεύ| D, Θ1ω add. D3. 8 εὐθεῖαι] corr. ex εὐ- θείας D3. 12. διά] ἀπό D. 14. ἐπιζεύχθωσαν BC. 15. ΔΓ] ΓΔ D. δή] δέ D. αὐτόθεν] post -ό- del. ι C. διά] in ras. D3. 16. δοθήσεται (alt.)] δοθήσονται D. 17. τά] corr. ex τ D3. 18 ἐν] -ν in ras. D3. 19. ΒΔ, ΓΕ] in ras. A. 20. ἐστίν] -ν eras. D. 21. ὁπό] ὑ- in ras. D3. 22. ΒΔ] ΒΓ C. δέδοται] corr. ex δίδοται D3. 23. BΓ] mut. in BΔ C2; BE, ΓΔ supra scr. D3. δέδοται (pr.) — ΓΔ] om. D. -δοται — δέ-] mg. A1. δέδοται (alt.)] δέδονται D, sed ν eras. δὲ καὶ ἡ ΒΚ διάμετρος, καὶ λοιπὴ ἡ ΓΔ ἔσται δεδομένη, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΓΑ· ὥστε, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἰ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθήσεται καὶ ἡ συναμφοτέρας τὰς περιφερείας κατὰ σύνθεσιν ὑποτείνουσα εὐθεῖα διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος. φανερὸν δέ, ὅτι συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκτεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι πάσας ἀπλῶς ἐγγράψομεν, ὅσαι δὶς γινόμεναι τρίτον μέρος ἕξουσιν, καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ ᾱ U+2220΄ μοῖραν διαστημάτων δύο καθʼ ἕκαστον ἐσόμεναι, ἐπειδήπερ καθʼ ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν. ὥστε, ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν, αὕτη κατά τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει. ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοταί πως· εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν, εἴχομεν ἂν 3αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον· 1. δέ] corr. ex δι D3. λοιπή] ἡ λοιπή A. Deinde add. ἄρα D3. ἡ] BC, ἡ ὑπὸ τήν AD, ὑπὸ τήν eras. D. 3. ΑΓ] ΑΓ ὅπερ ἔδει δεῖξαι D. 4. ὑπό D. δοθήσεται] corr. ex δοθήσονται D3. 6. τούτου] τού | τούτου C, om. D. τοῦ] τοῦ τοιούτου D. 7. ?? mg D. et in textu D2. δέ] mut. in δή B3D3. προεκτιθεμένων D. 9. συναπτομένας] -π- in ras. D3. ἐγγράψομεν] pr. γ in ras. D3. 10. ὅσαι] corr. ex ὅσ αἱ C2D3. γενόμεναι D. 11. περιλειφθήσονται] corr. ex περιληφθή- σονται C2D3. τῶν] post ras. 3 litt. D. 13. καθʼ] καὶ καθʼ D. 14. αὕτη] BC2, αὐτῆ A et corr. in αὐτή D, αυτη C. 15. τάς] corr ex τά A. 16. δεδομένας] -μέ- supra scr A1. 17. τάς ( alt.)] καὶ τάς corr. ex κατά D. 19. μοῖραν] sic AC. ἡ τό] corr. ex ἤτοι D. τῆς αὐτῆς] corr. ex τῆς D.3 20. δίδοται] δέδοται corr. ex δέδωται D. πρότερον μεθοδεύσομεν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ μοῖραν ἀπό τε τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν καὶ τῆς ὑπὸ U+2220΄ δ΄ ὑποθέμενοι λημμάτιον, ὅ, κἂν μὴ πρὸς τὸ καθόλου δύνηται τὰς πηλικότητας ὁρίζειν, ἐπί γε τῶν οὕτως ἐλαχίστων τὸ πρὸς τὰς ὡρισμένας ἀπαράλλακτον δύναιτʼ ἂν συντηρεῖν. λέγω γάρ, ὅτι, ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος. ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΕΔ εὐθείας, ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ 1. μεθοδεύσομεν] corr. ex μεθοδεύσαμεν C2. 2 μοῖρμένας] om. D. ὑπό] ὑπὸ τό D. 3. λημμάτιον] -τι- in ras. A. μή] corr. ex μοι C3. 4. πηλικότητας] corr. ex πηληκκότητας C. ἐλαχίστων] corr. ex ἐλάχιστον C3. 5. ὡρισμένας] ὡρι| σμένας corr. ex ὡρισ |μένας A1. δύναιτʼ ἄν] δύναται D. 6. λῆμμα mg. BC ἄνισοι δύο] β ἄνισοι D. 7. ἐλάσσονα (pr.)] ante ν ras. 2 litt. A. ἐλάσσονα (alt.)] AD, om. BC, add. C3 et mg. B1. 8. μείζονος] -ς in ras. D3. 9. ἐπί] ἀπό B. ἐλάττονος D. 11. ἄνισοι εὐθεῖαι D. 12 ΓΒ] ΒΓ D. 13. πρός — 15. περιφέρεια] mg B1C3. 13. εὐθεῖαν] om B1D. ἐλάττονα C. 14 ἤπερ] ἤ C3. ΒΓ] ΓΒ B1D. 15. πρός — περιφέρειαν] et in textu C et in mg. C3. 16 ς mg. D. 17. δίχα γωνία D. 20. καὶ ἐπεί] ἐπεὶ οὖν D. ΑΔ Eucl. III, 26, 29 , μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΕΑ Euol. VI, 3 . ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕΓ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ τοίνυν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῆς ΕΔ, ἡ δὲ EΔ τῆς ΔΖ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΕ γραφόμενος κύκλος τὴν μὲν ΑΔ τεμεῖ, ὑπερπεσεῖται δὲ τὴν ΔΖ. γεγράφθω δὴ ὁ ΗΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΔΕΘ τομεὺς μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΕΖ τριγώνου, τὸ δὲ ΔΕΑ τρίγωνον μεῖζον τοῦ ΔΕΗ τομέως, τὸ ἄρα ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τόν ΔΕΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΚΑ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΕΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ Eucl. VI, 1 , ὡς δὲ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΚΔΑ ἡ ἄρα ΖΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. καὶ συνθέντι ἄρα ἡ ΖΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΕ καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ἡ ΓΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνία πρὸς 4. ὁ ἄρα] ὁ ἄ- e corr. D2. μέν] om D. 5. διαστήματι δέ] καὶ διαστήματι D. 6. τεμεῖ] corr. ex τέμνει D. ΔΖ] corr. ex ΑΖ B1, ΑΖ C. 7. ΗΕΘ] corr. ex ΕΘ D, supra Θ ras. 1 litt. καὶ ἐπεί] ἐπεὶ οὖν D. 8. ἐστίν — 9. μεῖζον] supra scr. D3 (ἐστί). 10. Τὸ ΔΕΖ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸν ΔΕΘ τομέα ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕΑ τρίγωνον πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα· ἐναλλάξ mg pro scholio B et nonnullis uerbis recisis C. ΔΕΑ τρίγωνον] δε ατρίγωνον D. 11. Ante λόγον ras. 1 litt. A. 12. τρίγωνον (alt)] om. D. 13. ΕΑ] ΑΕ B, corr. B1. 14. τομέα] om. D. 15. Post pr. ὑπό ras. 1 litt. C. 16. ἡ] add D3. 17. ΖΔΕ — ὑπό] supra scr. D3. ΕΔΑ] EΔΑ γωνίαν D. 20. ΓΑ] ΓΑ ἄρα D. 21 ΓΔΑ] seq. ras. 1 litt. A. τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· καὶ διελόντι ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ Eucl. VI, 3 , ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ, οὕτως ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ Eucl. VI, 33 · ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. τούτου δὴ οὖν ὑποκειμένου ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΑΓ, ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ἡ μὲν ΑΒ ὑποτείνουσα μιᾶς μοίρας U+2220΄δʹ, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱ. ἐπεὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ δὲ ΑΓ περιφέρεια ἐπίτριτός ἐστιν τῆς ΑΒ, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. ἀλλὰ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων ○ μζ η, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΓΑ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν· ταῦτα γὰρ ἐπίτριτά ἐστιν ἔγγιστα τῶν ○ μζ η. 1. ΕΔΑ] ΑΔΕ D. διελόντι ἡ] διελόντηι D, ι supra scr. D3. ΕΔΑ] Α e corr. C2. εὐθεὶα] om. D. 4. εὐθεῖα] om. D. 5. ἡ (pr.)] om. C. ΒΔΑ] -Β e corr. D3. 6. τήν — 7. πρός] mg. B1. 6 ἡ — 7. ΒΑ] add. C2. 8. περιφέρειαν ὅπερ δεῖ (ἔδει D3) δεῖξαι D. 9. ζ mg. D. οὖν] om. D. 13. ἡ μέν] μὲν ἡ D. 14 μιᾶς] supra scr. D3. 15. ᾱ] mut. in αν D3. 17. ἡ] supra scr. A4, om. C. Μg. τὸ λῆμμα pro scholio BC. 20. ○] ο C, ut saepius. 21. ΓΑ] ΑΓ D. 22. ἐπίτριϲτα C. 23. η] supra scr. D3. Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν ᾱ, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱU+2220΄. κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος. ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν ᾱ λδ ῑε, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν· τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστιν τὰ προκείμενα ᾱ λδ ῑε. ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα, καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων ᾱ β ν ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν ○ λα κε ἔγγιστα. καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά, ὡς ἔφαμεν, διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν λόγου ἕνεκεν ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος συνθέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου δεικνυμένης τῆς ὑπὸ τὰς β μοίρας, ἐκ δὲ τῆς ὑπεροχῆς τῆς πρὸς τὰς γ μοίρας καὶ τῆς ὑπὸ τὰς β U+2220΄ διδομένης· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν. ἡ μὲν οὖν πραγματεία τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν οὕτως ἂν οἶμαι ῥᾷστα μεταχειρισθείη. ἵνα δέ, ὡς ἔφην, 3. περιφέρεια — 5. ΑΓ] mg. D3 (κείμενον). 4. ἡμιόλιός ἐστιν D3. ΓΑ ἄρα] ΑΓ D3. ΒΑ] ΑΒ D3. 6. οὖσαν] supr scr. D. 7. ΑΒ] ΒΑ D. 8. ᾱ λδ ῑε] corr. ex αλ διε D3. 9. ὥστʼ D. 12. προυποδεδειγμένα D. 14 ὡς ἔφαμεν τὰ λοιπά D. 16. πρώτου] corr. ex ᾱ D3. συνθέσεως] D (-ς e corr.), τῆς συνθέσεως ABC. 19. καί ( pr.)] eras. D. 22. δέ] δʼ D. ἔφην] corr. ex ἔφη C2, ἔφη B. ἐφʼ ἑκάστης τῶν χρειῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς πηλικότητας ἔχωμεν τῶν εὐθειῶν ἐκκειμένας, κανόνια ὑποτάξομεν ἀνὰ στίχους με διὰ τὸ σύμμετρον, ὧν τὰ μὲν πρῶτα μέρη περιέξει τὰς πηλικότητας τῶν περιφερειῶν καθʼ ἡμιμοίριον παρηυξημένας, τὰ δὲ δεύτερα τὰς τῶν παρακειμένων ταῖς περιφερείαις εὐθειῶν πηλικότητας ὡς τῆς διαμέτρου τῶν ρκ τμημάτων ὑποκειμένης, τὰ δὲ τρίτα τὸ λ΄ μέρος τῆς καθʼ ἕκαστον ἡμιμοίριον τῶν εὐθειῶν παραυξήσεως, ἵνα ἔχοντες καὶ τὴν τοῦ ἑνὸς ἑξηκοστοῦ μέσην ἐπιβολὴν ἀδιαφοροῦσαν πρὸς αἴσθησιν τῆς ἀκριβοῦς καὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμίσους μερῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς ἐπιβαλλούσας πηλικότητας ἐπιλογίζεσθαι δυνώμεθα. εὐκατανόητον δʼ, ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν καὶ προκειμένων θεωρημάτων, κἂν ἐν δισταγμῷ γενώμεθα γραφικῆς ἁμαρτίας περί τινα τῶν ἐν τῷ κανονίῳ παρακειμένων εὐθειῶν, ῥᾳδίαν ποιησόμεθα τήν τε ἐξέτασιν καὶ τὴν ἐπανόρθωσιν ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν διπλασίονα τῆς ἐπιζητουμένης ἢ τῆς πρὸς ἄλλας τινὰς τῶν δεδομένων ὑπεροχῆς ἢ τῆς τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφέρειαν ὑποτεινούσης εὐθείας. καί ἐστιν ἡ τοῦ κανονίου καταγραφὴ τοιαύτη· 1 χρειῶν] mut in χρήσεων D3. 3 ἀνά] ins D3. στίχους] ἀστίχους, -ί- corr. ex ο, D. 5. ἡμιμόριονι D. 6. περι- φερείαις] -ις e corr C. 8 λ΄] λ ABC, τριακοστόν D. ἡμι- μόριον D 9 ἵνα ἔχοντες] bis D, sed corr 10 ἀδιαφο- ροῦσαν] mut in ἀδιαφόρους ἄν A2. αἴσθησιν] -σιν in ras. B1. 11. ἐξ ἑτοίμου] om C 12 ἐπιβαλλούσας] -πι- in ras B2. 13. δυνάμεθα BC. δʼ] δέ D. 14. γενόμεθα C. 16. τήν] τῆ extr lin A, τήν A4. 20 καί ἐστιν] ἔστιν δέ D. 21. καταγραφή] διαγραφή D. ταύτη D. ια΄. Κανόνιον τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. ιβ∠′ ιγ γ ν ο α β κζ ιγ ιγ λε δ ο α β κε ιγ∠′ ιδ ς ις ο α β κγ ιδ ιδ λζ κζ ο α β κα ιδ∠′ ιε η λη ο α β ιθ ιε ιε λθ μζ ο α β ιζ ιε∠′ ις ι νς ο α β ιε ις ις μβ γ ο α β ιγ ις∠′ ιζ ιγ θ ο α β ι ιζ ιζ μδ ιδ ο α β ζ ιζ∠′ ιη ιε ιζ ο α β ε ιη ιη μς ιθ ο α β β ιη∠′ ιθ ιζ κα ο α β ο ιθ ιθ μη κα ο α β νζ ιθ∠′ κ ιθ ιθ ο α β νδ κ κ κ ν ις ο α β να κ∠′ κα κα ια ο α β μη κα κα νβ ς ο α β με κα∠′ κβ κβ νη ο α β μβ κβ κβ νγ μθ ο α β λθ κβ∠′ κγ κδ λθ ο α β λς περιφερειῶν εὐθειῶν ν ἑξηκοστῶν κγ κγ νε κζ ο α α λγ κγ∠′ κδ κς ιγ ο α α λ κδ κδ νς νη ο α β κς κδ∠′ κε κζ μα ο α α κβ κε κε νη κβ ο α α ιθ κε∠′ κς κθ α ο α α ιε κς κς νθ λη ο α α ια κς∠′ κζ λ ιδ ο α α η κζ κη ο μη ο α α δ κζ∠′ κη λα κ ο α α ο κη κθ α ν ο α ο νς κη∠′ κθ λβ ιη ο α ο νβ κθ λ β μδ ο α ο μη κθ∠′ λ λγ η ο α ο μδ λ λα γ λ ο α ο μ λ∠′ λα λγ ν ο α ο λε λα λβ δ η ο α ο λα λα∠′ λβ λδ κβ ο α ο κζ λβ λγ δ λε ο α ο κβ λβ∠′ λγ λδ μς ο α α ιζ λγ λδ δ νε ο α ο ιβ λγ∠′ λδ λε α ο α ο η λδ λε ε ε ο α ο γ λδ∠′ λε λε ς ο ο νθ ιζ λε λς ε ε ο ο νθ νβ λε∠′ λς λε α ο ο νθ μη λς λζ δ νε ο ο νθ μγ λς∠′ λζ λδ μζ ο ο νθ λη λζ λη δ λς ο ο νθ λβ λζ∠′ λη λδ κβ ο ο νθ κζ λη λθ δ ε ο ο νθ κβ λη∠′ λθ λγ μς ο ο νθ ις λθ μ γ κε ο ο νθ ια λθ∠′ μ λγ ο ο ο νθ ε μ μα β λγ ο ο νθ ο μ∠′ μα λβ γ ο ο νη νδ μα μβ α λ ο ο νη μη μα∠′ μβ λ νδ ο ο νη μβ μβ μγ ο ιε ο ο νη λς μβ∠′ μγ κθ λγ ο ο νη λα μγ μγ νη ο ο νη ο κε μγ∠′ μδ κη α ο ο νη ιη μδ μδ νζ ι ο ο νη ιβ μδ∠′ με κς ις ο ο νη ς με με νε ιθ ο ο νη ο περιφερειῶν εὐθειῶν ν ἑξηκοστῶν ξη ξζ ς ιβ ο ο νβ α ξη∠′ ξζ ς ιβ ο ο να νβ ξθ ξζ νη η ο ο να μγ ξθ∠′ ξη κγ νθ ο ο να λγ ο ξη μθ με ο ο να κγ ο∠′ ξθ ιε κξ ο ο να ιδ οα ξθ μα δ ο ο να δ οα∠′ ο ς λς ο ο ν νε οβ ο λβ δ ο ο ν με οβ∠′ ο νζ κς ο ο ν λε ογ οα κβ μδ ο ο ν κς ογ∠′ οα μζ νς ο ο ν ις οδ οβ ιγ δ ο ο ν ς οδ∠′ οβ λη ζ ο ο μθ νς οε ογ γ ε ο ο μθ μς οε∠′ ογ κζ νη ο ο μθ λς ος ογ νβ μς ο ο μθ κς ος∠′ οδ ιζ κθ ο ο μθ ις οζ οδ μβ ζ ο ο μθ ς οζ∠′ οε ς λθ ο ο μη νε οη οε λα ζ ο ο μη με οη∠′ οε νε κθ ο ο μη λδ οθ ος ιθ μς ο ο μη κδ οθ∠′ ος μγ νη ο ο μη ιγ π οζ η ε ο ο μη γ π∠′ οζ λβ ς ο ο μζ νβ πα οζ νς β ο ο μζ μα πα∠′ οη ιθ νβ ο ο μζ λα πβ οη μγ λη ο ο μζ κ πβ∠′ οθ ζ ιη ο ο μζ θ πγ οθ λ νβ ο ο μς νη πγ∠′ οθ νδ κα ο ο μς μζ πδ π ιζ με ο ο μς λς πδ∠′ π μα γ ο ο μζ κε πε πα δ ιε ο ο μζ ιδ πε∠′ πα κζ κβ ο ο μζ γ πς πα ν κδ ο ο με νβ πς∠′ πβ ιγ ιθ ο ο με μ πζ πβ λς θ ο ο με κθ πζ∠′ πβ νη νδ ο ο με ιη πη πγ κα λη ο ο μδ νε πθ πδ ς λβ ο ο μδ μγ πθ∠′ πδ κη νδ ο ο μδ λα 9 πδ να ι ο ο μδ κ ιβ΄. Περὶ τῆς μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας. Ἐκτεθειμένης δὴ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν πρῶτον ἂν εἴη, καθάπερ εἴπομεν, δεῖξαι, πόσον ὁ λοξὸς καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ἐγκέκλιται πρὸς τὸν ἰσημερινόν, τουτέστιν τίνα λόγον ἔχει ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν ἐκκειμένων πόλων μέγιστος κύκλος πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην αὐτοῦ μεταξὺ τῶν πόλων περιφέρειαν, ἴσην ἀπέχει δηλονότι καὶ τῶν τροπικῶν ἑκατέρου σημείων τὸ κατὰ τὸν ἰσημερινόν. αὐτόθεν δʼ ἡμῖν τὸ τοιοῦτον ὀργανικῶς καταλαμβάνεται διὰ τοιαύτης τινὸς ἁπλῆς κατασκευῆς. ποιήσομεν γὰρ κύκλον χάλκεον σύμμετρον τῷ μεγέθει τετορνευμένον ἀκριβῶς τετράγωνον τὴν ἐπιφάνειαν, ᾧ χρησόμεθα μεσημβρινῷ διελόντες αὐτὸν εἰς τὰ ὑποκείμενα τοῦ μεγίστου κύκλου τμήματα τξ καὶ τούτων ἕκαστον, εἰς ὅσα ἐγχωρεῖ μέρη· ἔπειτα ἕτερον κυκλίσκον λεπτότερον ὑπὸ τὸν εἰρημένον ἐναρμόσαντες οὕτως, ὥστε τὰς μὲν πλευρὰς αὐτῶν ἐπὶ μιᾶς μένειν ἐπιφανείας, περιάγεσθαι δὲ ἀκωλύτως ὑπὸ τὸν μείζονα δύνασθαι τὸν ἐλάσσονα κύκλον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν, προσθήσομεν ἐπὶ δύο τινῶν κατὰ διάμετρον τμημάτων τοῦ ἐλάσσονος κύκλου κατὰ τῆς ἑτέρας τῶν πλευρῶν πρισμάτια μικρὰ 1 ιβ΄] om. AD. τῆς] corr. ex τῶν D3. 3. εἴπομεν] corr. ex εἴπωμεν B. 4. τῶν] om D. ἐγκέκληται C, corr. C2. 8. ᾗ] ἥ A 9. τό] mut. in τά D3. 10. διαλαμβάνεται D. 12. πε ρὶ κατασκευῆς mg, B, κατασκευῆς mg. C. 14. ᾧ] e corr. B, τῆς περιφερείας ᾡ D. 18. μέν — μιᾶς] bis C, sed corr. Post μένειν del — B. 22. κατά] τῶν κατά D, τῶν ins. B2, 23. κύκλου] κυκλίσκου D πρισμάτια] mut. in πηγμάτια C3, πηγμάτια corr. ex πριγμάτια D3. ἴσα νεύοντα πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸ κέντρον τῶν κύκλων ἀκριβῶς παραθέντες κατὰ μέσου τοῦ πλάτους αὐτῶν γνωμόνια λεπτὰ συνάπτοντα τῇ τοῦ μείζονος καὶ διῃρημένου κύκλου πλευρᾷ. ὃν δὴ καὶ ἐναρμόσαντες ἀσφαλῶς ἐπὶ τῶν παρʼ ἕκαστα χρειῶν ἐπὶ στυλίσκου συμμέτρου καὶ καταστήσαντες ἐν ὑπαίθρῳ τὴν τοῦ στυλίσκου βάσιν ἐν ἀκλινεῖ πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον ἐδάφει παραφυλάξομεν, ὅπως τὸ ἐπίπεδον τῶν κύκλων πρὸς μὲν τὸ τοῦ ὁρίζοντος ὀρθὸν ᾖ, τῷ δὲ τοῦ μεσημβρινοῦ παράλληλον· τούτων δὲ τὸ μὲν πρότερον διὰ καθετίου μεθοδεύεται κρημναμένου μὲν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐσομένου σημείου, τηρουμένου δέ, ἕως ἂν ἐκ τῆς τῶν ὑποθεμάτων διορθώσεως ἐπὶ τὸ κατὰ διάμετρον ποιήσηται τὴν πρόσνευσιν, τὸ δὲ δεύτερον μεσημβρινῆς γραμμῆς εὐσήμως εἰλημμένης ἐν τῷ ὑπὸ τὸν στυλίσκον ἐπιπέδῳ καὶ παραφερομένων εἰς τὰ πλάγια τῶν κύκλων, ἕως ἂν παράλληλον τῇ γραμμῇ τὸ ἐπίπεδον αὐτῶν διοπτεύηται. τοιαύτης δὴ τῆς θέσεως γινομένης ἐτηροῦμεν τὴν πρὸς ἄρκτους καὶ μεσημβρίαν τοῦ ἡλίου παραχώρησιν παραφέροντες ἐν ταῖς μεσημβρίαις τὸν ἐντὸς κυκλίσκον, ἕως ἂν τὸ ὑποκάτω πρισμάτιον ὅλον ὑφʼ ὅλου τοῦ ὑπεράνω 1. ἴσα] καὶ ἴσα D. 2 μέσου] corr. ex μέσον D3. 3. γνωμόνια λεπτὰ συν-] supra scr. D3, 4. ἐναρμόσαντες] corr. ex ἐναρμόζοντες D3. περὶ θέσεως mg. BC. 6. καταστήσαν- τες] καθιστάντες D. 7 ἀκλινεῖ% et mg. %ω (h. e παρ- αλλήλῳ) B. 9. τό] supra scr D 10 Post ras. 1. litt D. 11. κρημναμένου] Β2D3, κριμναμένου ABCD. 12. σημείου] corr. ex σημεῖον C2. 13. ἄν] α extr. lin. A, corr. A ὑπο- θεματίων BD, corr. B2. 15. εὐσήμμως C. εἰλημμένης D. 16 παραφερομένων] CD, πεαραιφερομένων A1B. 18. περὶ χρήσεως mg. BC. 21. μεσημβρίναις D, sed corr. 22 πρισμά- τιον] mut. in πηγμάτιον C3: πηγμάτιον, η e corr., D τοῦ] corr ex τό D3. σκιασθῇ. καὶ τούτου γινομένου διεσήμαινεν ἡμῖν τὰ τῶν γνωμονίων ἄκρα, πόσα τμήματα τοῦ κατὰ κορυφὴν ἑκάστοτε τὸ τοῦ ἡλίου κέντρον ἀφέστηκεν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. ἔτι δὲ εὐχρηστότερον ἐποιούμεθα τὴν τοιαύτην παρατήρησιν κατασκευάσαντες ἀντὶ τῶν κύκλων λιθίνην ἢ ξυλίνην πλινθίδα τετράγωνον καὶ ἀδιάστροφον, ὁμαλὴν μέντοι καὶ ἀποτεταμένην ἔχουσαν ἀκριβῶς τὴν ἑτέραν τῶν πλευρῶν, ἐφʼ ἧς κέντρῳ χρησάμενοι σημείῳ τινὶ πρὸς τῇ μιᾷ τῶν γωνιῶν ἐγράψαμεν κύκλου τεταρτημόριον, ἐπιζεύξαντες ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου μέχρι τῆς γεγραμμένης περιφερείας τὰς τὴν ὑπὸ τὸ τεταρτημόριον ὀρθὴν γωνίαν περιεχούσας εὐθείας καὶ διελόντες ὁμοίως τὴν περιφέρειαν εἰς τὰς μοίρας καὶ τὰ τούτων μέρη. μετὰ δὲ ταῦτα ἐπὶ μιᾶς τῶν εὐθειῶν τῆς μελλούσης ὀρθῆς τε ἔσεσθαι. πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον καὶ πρὸς μεσημβρίαν τὴν θέσιν ἕξειν ἐμπολίσαντες ὀρθὰ καὶ ἴσα πάντοθεν δύο κυλίνδρια μικρὰ κατὰ τὸ ὅμοιον τετορνευμένα, τὸ μὲν ἐπ’ αὐτοῦ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου περὶ αὐτὸ τὸ μέσον ἀκριβῶς, τὸ δὲ πρὸς τῷ κάτω πέρατι τῆς 1. σκιασθῇ] σ- euan. A. διεσήμανεν corr in διεσήμη- νεν D3 2. γνωμόνων D. 5. περὶ κατασκευῆς πλινθίδων mg BC. εὐχρηστοτέραν D. 6. λιθήνην B. 7. πληνθίδα BCD, corr. D3. ἀδιάστροφον] A, add. ἐν (om. D) συμμέτρᾳ πλάτει καὶ βάθει πρὸς τὸ βεβηκέναι κατὰ κρόταφον BD, et mg. pro scholio C (οἶμαι σφάλμα add. eadem manu). 8. ἀπο- τε| τεταμένην D. 10. ἔγράψαμεν] ἐγρ- in ras. A. 11. κέν- τρου D. 12. σημείου] corr. ex σημεῖον C. τάς] supra scr A1. 14. διελόντες] corr. ex. διελθόντες B2C. 15. ἐπί] κατά D 16. μελούσης D. τε ἔσεσθαι] τίθεσθαι D. 17. πρός (pr.) — καί] om. B, mg. C3. 18. ἐμπολίσαντες] mut. in ἐνεπολίσα |τες B2, ἐνεπολήσαμεν D. 19. κυλίνδρια] post υ eras. κ D. ὅμοιον] ὅ- ins. D3. εὐθεέας, ἔπειτα ἱστάντες ταύτην τὴν καταγεγραμμένην τῆς πλινθίδος πλευρὰν παρὰ τὴν ἐν τῷ ὑποκειμμεένῳ ἐπιπέδφ διηγμένην μεσημβρινὴν γραμμήν, ὥστε καὶ αὐτὴν παράλληλον ἔχειν τὴν θέσιν τῷ τοῦ μεσημβρπτνοῦ ἐπιπέδφ, καὶ καθετίῳ διὰ τῶν κυλινδρίων ἀκλινῆ τε καὶ ὀρθὴν πρὸς τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὁρίζοντος τὴν διʼ αὐτῶν εὐθεῖαν ἀκριβοῦντες ὑποθεματίων πάλιν τινῶν λεπτῶν τὸ ἐνδέον διορθουμένων ἐτηροῦμεν ὡσαύτως ἐν ταῖς μεσημβρίαις τὴν ἀπὸ τοῦ πρὸς τῷ κέντρῳ κολινδρίον γινομένην σκιὰν παρατιθέντες τι πρὸς τῇ καταγεγραμμένῃ περιφερείᾳ πρὸς τὸ καταδηλότερον αὐτῆς τὸν τόπον φαίαεσθαι καὶ ταύτης τὸ μέσον σημειούμενοι τὸ κατʼ αὐτοῦ τμῆμα τῆς τοῦ τεταρτημορίου περιφερείας ἐλαμβάνομεν διασημαῖνον δηλονότι τὴν κατὰ πλάτος ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ πάροδον τοῦ ἡλίου. ἐκ δὴ τῶν τοιούτων παρατηρήσεων καὶ μάλιστα τῶν περὶ τὰς τροπὰς αὐτὰς ἡμῖν ἀνακρινομένων ἐπὶ πλείονας περιόδους τὰ ἴσα καὶ τὰ αὐτὰ τμήματα τοῦ μεσημβρινοῦ κύκλου καὶ κατὰ τὰς θερινὰς τροπὰς καὶ κατὰ τὰς χειμερινὰς τῆς σημειώσεως ὡς ἐπίπαν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἀπολαμβανούσης σημείου κατελαβόμεθα τὴν ἀπὸ τοῦ βορειοτάτου πέρατος ἐπὶ τὸ νοτιώτατον περιφέρειαν, ἥτις ἐστὶν ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν 1. περὶ θέσεως mg BC 3. γραμήν C. 5. κυλίνδρων D, deinde del ἀκριβεῖ τε καί. 6. ἀκλινῆ ] ἀκλινεῖ D. τε] postea ins. D. 7 πάλιν τινῶν B. 8. λεπτῶν] in ras D, λεπτόν BC. περὶ χρήσεως mg. BC. 9. ὡσαύτως] ὁμοίως D. τὸ κέντρον D 10. κυλίνδρον D. 13. αὐτοῦ] αὐτο seq. ras. 1 litt. D. 14 διασημαῖνον] δ- in ras. A. 17. δή] postea ins. B. 20. κατά] supra scr A. 21 ὡς] supra scr. A. 22 σημείου] corr ex σημεῖον C, supra scr D3. 24. περιφέρειν A. ἐστί A ἡ] supra scr A τροπικῶν] τ- postea ins. C. τμημάτων, πάντοτε γινομένην μζ καὶ μείζονος μὲν ἢ διμοίρου τμήματος, ἐλάσσονος δὲ ἡμίσους τετάρτου, διʼ οὗ συνάγεται σχεδὸν ὁ αὐτὸς λόγος τῷ τοῦ Ἐρατοσθένους, ᾧ καὶ ὁ Ἵππαρχος συνεχρήσατο· γίνεται γὰρ τοιούτων ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν ῑᾱ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ὁ μεσημβρινὸς πγ. εὔληπτα δὲ αὐτόθεν ἐκ τῆς προκειμένης παρατηρήσεως γίνεται καὶ τὰ τῶν οἰκήσεων, ἐν αἷς ἂν ποιώμεθα τὰς τηρήσεις, ἐγκλίματα λαμβανομένων τοῦ τε μεταξὺ σημείου τῶν δύο περάτων, ὃ γίνεται κατὰ τὸν ἰσημερινόν, καὶ τῆς μεταξὺ τούτου τε καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου περιφερείας, ᾗ ἴσην δηλονότι καὶ οἱ πόλοι τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν. ιγ΄. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις. Ἀκολούθου δʼ ὄντος ἀποδεῖξαι καὶ τὰς κατὰ μέρος γινομένας πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν γραφομένων μεγίστων κύκλων διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων προεκθησόμεθα λημμάτια βραχέα καὶ εὔχρηστα, διʼ ὧν τὰς πλείστας σχεδὸν δείξεις τῶν σφαιρικῶς θεωρουμένων, ὡς ἔνι μάλιστα, ἁπλούστερον καὶ μεθοδικώτερον ποιησόμεθα. εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι 2. δέ] δὲ ἤ D. 3 τῷ] τὸ C. 5. μεταξύ] -ξ- postea ins. C. 13. πόλοι] πολλοί C. 14 ιγ΄] C, γι B, om. AD. 15. ὄντος] -ν- ins. D3. 17. μέσου D. 21. σφαιρικῶν θεωρημάτων D, supra scr. σφαιερικῶς θεωρουμένων D3. 23. εἰς δύο δή] postea ins D. α΄ λῆμμα εὐθύγραμμον κατὰ σύν- θεσιν mg. BC. δύο εὐθεῖαι ἢ τε Β Ε καὶ ἡ Γ Δ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Γ Δ παράλληλος ἡ Ε Η. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ Γ Δ καὶ Ε Η, ὁ τῆς Γ Α πρὸς Ε Α λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Γ Δ πρὸς Ε Η Eucl. VI, 4 . ἔξωθεν δὲ ἡ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Δ πρὸς Ε λόγος συγκείμενος ἔσται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε ὥστε καὶ ὁ τῆς Γ Α πρὸς Α Ε λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε. ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε Eucl. VI, 4 διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς Ε καὶ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Α πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε ὅπερ προέκειτο δεῖξαι. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται, ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α, διὰ τοῦ Α τῇ Ε Β παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἑπ᾿ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν παράλληλός 1. ΓΔ] Δ Γ D. 7 Ε Α] Α Ε D. 9 ἔξωθεν δέ] καὶ ἔξωθεν D. 10 πρός] corr. ex πρό D 11 Δ Ζ] Ζ Δ D. 1. Δ Ζ] Ζ Δ D. Η Ε] Ε Η D. 15. Η Ε] Ε Η D. 16. Η Ε) ΕΗ D. 17 Ζ Β] Β Ζ D 20 Ζ Β] Β Ζ D. 21. β λῆμμα κατὰ διαίρεσιν mg. BC. 23 Δ Ζ] Ζ Δ D. Δ Β] Β Δ D, Δ Β mg. D3. 24 τῇ] seq ras 1 litt B. παραλλήλου] πᾶλλήλου D. 25 Γ Δ Η] corr ex Γ Δ D3 ἐστιν ἡ Α Η τῇ Ε Ζ, ἔστιν, ὡς ἡ Γ Ε πρὸς Ε Α, ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ Η Eucl. VI, 2 . ἀλλὰ τῆς Ζ Δ ἔξωθεν λαμβανομένης ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Ζ Η ἔστιν δὲ ὁ τῆς Δ πρὸς Ζ Η λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Δ Β πρὸς Β Α διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς Α Η καὶ Ζ Β διῆχθαι τὰς Β Α καὶ Ζ Η ὁ ἄρα τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α. ἀλλὰ τῷ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α καὶ ὁ τῆς Γ Ε ἄρα πρὸς Ε Α λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α ὅπερ ἔδει δεῖξαι. πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόντα τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, Β Γ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α Γ καὶ ΔΕΒ. 1 τῇ] τῆς BC. 2. πρός] bis D. 3 λαμβανομένης] corr. ex λαμβαμομένης B2. προσ D. 6. Δ Ζ] Ζ Δ D. 12. Δ Ζ] Ζ Δ D. Δ Β] Β Δ D, Δ Β mg D3. 14 καί — E A] om. BC. Ε Α (alt )] corr ex D3. 15 ΓΖ — τῆς] mg. 1. ΓΖ] ΖΓ D. Δ Ζ] Ζ Δ D. 16. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D 17. γʹ λῆμμα κυκλικόν mg. BC 20. τά] om. D 24 λαμ- βανομένων] λ corr. ex ε D. 25. ὅμοιον] αὐτό corr. ex αὐτῶ D. αἱ] bis C. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ οὕτως ἡ Α Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε Γ εὐθεῖαν. ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α καὶ Γ σημείων ἐπὶ τὴν Δ Β ἥ τε Α Ζ καὶ ἡ Γ Η. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ Α τῇ Γ Η, καὶ διῆκται εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΑΕΓ, ἔστιν, ὡς ἡ Δ Ζ πρὸς τὴν Γ Η, οὕτως ἡ Α Ε πρὸς Ε Ι Eucl. VI, 4 . ἀλλʼ ὁ αὐτός ἐστιν λόγος ὁ τῆς Α πρὸς Γ Η καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ ἡμίσεια γὰρ ἐκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὁ τῆς Α Ε ἄρα πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. παρακολουθεῖ δʼ αὐτόθεν, ὅτι, κἂν δοθῶσιν ἢ τε Α Γ ὅλη περιφέρεια καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν Α Β καὶ Β Γ περιφερειῶν. ἐκτεθείσης γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐπεζεύχθω ἡ Α Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν Α Ε Γ ἡ Δ Ζ. ὅτι μὲν οὖν τῆς Α Γ περιφερείας δοθείσης ἥ τε ὑπὸ Α Δ Ζ 1. τῆς — 2. Β Γ]. mg BC3, τῆς BΓ etiam in textu BC. 3. πρός] supra scr. D3, 6. εὐθεῖα] corr. ex εὐθείας D 8. Ε Γ] τὴν Ε Γ D. ὁ (alt.)] om. D. 9. τῆς (pr)] corr. ex τῆ D3. 10. περιφερείας] supra scr. D. 12. Ε Γ] την Ε Γ D. 13. Β Γ] D. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] supra scr. D3. 14. δʼ] comp. ins. D3. 15. Α Γ] corr. ex Γ Α D3. Post ὅλη del. ἡ D3. 17. τήν] τ- e corr. C. 18. Β Γ] corr. ex Γ Β D3. 19. καί] ins D3. 23. ΑΕΓ] corr ex ΔΕΓ BC2. γωνία τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς ὑποτείνουσα δεδομένη ἔσται καὶ ὅλον τὸ Α Δ Ζ τρίγωνον, δῆλον· ἐπεὶ δὲ τῆς Α Γ εὐθείας ὅλης δεδομένης ὑπόκειται καὶ ὁ τῆς Α Ε πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, ἥ τε Α Ε ἔσται δοθεῖσα dat. 7 καὶ λοιπὴ ἡ Ζ Ε. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῆς Δ Ζ δεδομένης δοθήσεται καὶ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ ΕΔΖ ὀρθογωνίου καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ Α Δ Β ὥστε καὶ ἥ τε Α Β περιφέρεια δοθήσεται καὶ λοιπὴ ἡ Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. πάλιν ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, ΑΓ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπιζευχθεῖσαι ἥ τε Δ Α καὶ ἡ Γ Β ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε σημεῖον. 1. δεδομένη] seq. ras. 1 litt. D. 2 τρίγωνον] τρίγωνον ὀρθογώνιον D. δέ] δὲ καί D. 3. ὁ] supra scr. D3. Α Ε] seq. ras. 3 litt. D. 5. Β Γ] Γ Β D. 6. Ζ Ε] Ε Ζ, Ε in ras., D. 7. δεδομένης] alt. δ supra scr. D3. 8. γωνία τοῦ Ε Δ Ζ] om. D. 10. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D. 11. Α Β Γ] Α D. Mg. τρίτον τῶν κυκλικῶν B3. 12. σημεῖα] ση |μεῖα, post η ras. 1 litt, A. 13. ὥστε — 15. ὑπακουέσθω] om. D. 13. Supra Α Γ scr. Β Γ C2. 16. ἐπιζευχθεῖσα D. Γ Β] Β Γ D. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Β Ε. ὁμοίως γὰρ τῷ προτέρῳ λημματίῳ, ἐὰν ἀπὸ τῶν Β καὶ Γ ἀγάγωμεν καθέτους ἐπὶ τὴν Δ Α τήν τε ΒΖ καὶ τὴν Γ Η, ἔσται διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς εἶναι, ὡς ἡ Γ Η, πρὸς τὴν Β Ζ, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β Eucl. VI, 4 . ὥστε καί, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β ὅπερ ἔδει δεῖξαι. καὶ ἐνταῦθα δὲ αὐτόθεν παρακολουθεῖ, διότι, κἂν ἡ Γ Β περιφέρεια μόνη δοθῇ, καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β δοθῇ, καὶ ἡ Α Β περιφέρεια δοθήσεται. πάλιν γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἐπιζευχθείσης τῆς Δ Β καὶ καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν Β Γ τῆς Δ Ζ ἡ μὲν 1. Γ Α] Α Γ D. 2. οὕτως] corr. ex οὕτω A1. 4. γάρ] om. BC. 6. ἔσται] om. D. 7. ὡς] γίνεται ὡς D. ἡ (pr)] ins. D. Β Ζ] Ζ Β D. πρὸς τήν] πρός corr. ex πρό D. 8. ὡς] supra scr. D3. 10. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] ο>: AC, περιφέρειαν comp. B, om. D. 11. ςʹ mg. A. δέ] δʼ D. 12. ἡ] ἥ τε D. δοθῇ] δοθείη D. ὁ (pr.)] om. D. 13 τῆς (pr) — διπλῆν] ins. B3. Γ Α] -Α in ras A. Γ Α — 14. Α Β (pr.)] supra scr. C2. 13. πρὸς τήν] corr. ex πρ ?? D3. 14. Α Β (pr.)] etiam in textu C. δοθῇ] del. B3, δοθήσεται D. δοθήσεται] om. D. ὑπὸ Β Δ Ζ γωνία τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς Β Γ περιφερείας ἔσται δεδομένη· καὶ ὅλον ἄρα τὸ Β Δ Ζ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ δὲ καὶ ὅ τε τῆς Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β λόγος δέδοται καὶ ἔτι ἡ Γ Β εὐθεῖα, δοθήσεται καὶ ἥ τε Ε Β καὶ ἔτι ὅλη ἡ Ε Β ὥστε καί, ἐπεὶ ἡ Δ Ζ δέδοται, δοθήσεται καὶ ἥ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ Ε Δ Β. ὥστε καὶ ἡ Α Β περιφέρεια ἔσται δεδομένη. τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, ὥστε εἰς δύο τὰς Α Β καὶ Α Γ δύο γραφείσας τὰς Β Ε καὶ Γ Δ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ σημεῖον· ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω. λέγω δή, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α. εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β, Ζ, Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε Η Β καὶ ἡ Η Ζ καὶ ἡ Η Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α Δ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ Η Β ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁμοίως δὲ 2. ἄρα] supra scr. D3. 3. ὀρθογώνιον] τρίγωνον D. 5. ὥστε καί, ἐπεί] ὥστʼ ἐπεὶ καί D. 7. ὀρθογωνίου] τριγώνου D. 9. θεώρημα κατὰ διαίρεσιν mg. B. 11. γραφείσας] corr. ex γραφθείσας C2. 12. σημεῖον] om. D 13. ἐλάττων D. δέ δʼ D. 14 ὑπακουέσθω] ὑπακουέσθω ἡμῖν D. 16. τῆς — 17. διπλῆν] D, mg. A4BC3 κείμενον add. B3. 16 E Α] Ε Δ Β, γρ εα B3. 18 ὑπὸ τήν ( pr.)] bis A. 21. ἀπὸ τοῦ Η] ἀπʼ αὐτοῦ D. Β, Ζ, Ε] Β Ε Ζ D. 22 ἡ ( pr.)] om. BC καί ⟨tert.⟩] ς καί D. ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Δ Γ καὶ Α Γ τεμνέτωσαν τὰς Η Ζ καὶ Η Ε κατὰ τὸ Κ καὶ Λ σημεῖον· ἐπὶ μιᾶς δὴ γίνεται εὐθείας τὰ Θ, Κ, Λ σημεῖα διὰ τὸ ἐν δυσὶν ἅμα εἶναι ἐπιπέδοις τῷ τε τοῦ Α Γ Δ τριγώνου καὶ τῷ τοῦ Β Ζ Ε κύκλου, ἥτις ἐπιζευχθεῖσα ποιεῖ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΘΛ καὶ Γ Α διηγμένας τὰς Θ Λ καὶ Γ Δ τεμνούσας ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ σημεῖον· ὁ ἄρα τῆς Γ Λ πρὸς Λ Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Κ πρὸς Κ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ πρὸς p. 69, 21 . ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Γ Λ πρὸς Λ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας, ὡς δὲ ἡ Γ Κ πρὸς Κ Δ, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ p.70,17 , ὡς δὲ ἡ Θ Δ πρὸς Θ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α p.72, 11 . καὶ ὁ λόγος ἄρα ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ 1. αἱ] supra scr. C3. Α Γ] corr. ex Δ 2. τό] τά D. σημεῖα D. εὐθείας γίνεται D. 3. διά] comp. Β, δι B3. 7. ἐπιζευχθεῖσα] ante σ ras. 2 litt. A. 11. Θ Λ] corr. ex Ο Λ D3. 15 Γ Λ] corr. ex Γ Δ D. 17. ὑπό] supra scr. D. τήν] supra scr. D3. Ε Α] Ε Λ corr. ex Ε Δ B, Ε Α mg. B3. 18. Κ Δ] corr. ex Κ Λ B3C3. 19. Ζ Δ] ΔΖ D. Θ Δ] AC, corr. ex ΔΘ B2, ΔΘ C3D. 20. ΔB — 21. τῆς] om. B, mg. C3. δβτ mg. B3. 20.περιφερείας] om. C3. 21. τῆς] corr. ex τῆ D. τῆς Β Α] mg. C alio atramento. 22. τῆς (pr)] om. D. ὑπὸ (alt.)] e corr. D3. 24. Ante Ε ras. 1 litt. A. πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἐπιπέδου καταγραφῆς τῶν εὐθειῶν p. 68, 23 δείκνυται, ὅτι καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Δ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε ἅπερ προέκειτο δεῖξαι. ιδʹ. Περὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερειῶν. Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προεκτεθειμένου ποιησόμεθα πρώτην τὴν τῶν προκειμένων περιφερειῶν ἀπόδειξιν οὕτως. ἔστω γὰρ ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὸ μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, τὸ δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΕΔ, τὸ δὲ Ε σημεῖον ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν αὐτῶν τομή, ὥστε τὸ μὲν Β χειμερινὸν τροπικὸν εἶναι, τὸ δὲ Δ θερινόν, εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ Γ περιφερείας 2. τῆς Δ Β — διπλῆν] supra scr. D3. τὴν ὑπό] postea ins. A1. 3. δή] δέ D. καὶ ὥσ-] in ras. A. 4. ὅτι] corr. ex διότι D. 7. διπλῆν (alt.)] -ι- corr. ex η A. 8. Δ Ζ] Ζ Δ D. 9. προέκειτο] corr. ex πρόκειται τό D3. 10. ιδ΄] C, δι B, om. AD. περί — 11. περιφερειῶν] mg D3, 10 τοῦ (pr.)] τοῦ τε D3. 12. δή] om. D. 13. τήν] om. D. 23. τό] καὶ τό D. εἶναι τροπικόν D. ὁ πόλος τοῦ ΑΕΓ ἰσημερινοῦ καὶ ἔστω τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΕΗ περιφέρεια τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων ὑποκειμένη λ, οἵων ἐστὶν ὁ μέγιστος κύκλος τξ, διὰ δὲ τῶν Ζ, Η γεγράφθω μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ Ζ Η Θ, καὶ προκείσθω τὴν Η Θ δηλονότι εὑρεῖν. προειλήφθω δὴ καὶ ἐνταῦθα καὶ καθόλου ἐπὶ πασῶν τῶν ὁμοίων δείξεων, ἵνα μὴ καθʼ ἑκάστην ταυτολογῶμεν, ὅτι, ὅταν τὰς πηλικότητας λέγωμεν περιφερειῶν ἢ εὐθειῶν, ὅσων εἰσὶν μοιρῶν ἢ τμημάτων, ἐπὶ μὲν τῶν περιφερειῶν τοιούτων φαμέν, οἵων ἡ τοῦ μεγίστου κύκλου περιφέρεια τμημάτων τξ, ἐπὶ δὲ τῶν εὐθειῶν τοιούτων, οἵων ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ. ἐπεὶ τοίνυν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς Α Ζ καὶ Α Ε περιφερείας γεγραμμέναι εἰσὶ δύο ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ Ε Β τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Κ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β p. 76, 3 . ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς Ζ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Α Β διπλῆ κατὰ τὸν συμπεφωνημένον p. 68, 4 . ἡμῖν τῶν πγ πρὸς τὰ ια λόγον μοιρῶν μζ μβ μ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λα νε, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Η Ε περιφερείας 6. δή] δέ D. 9. εἰσίν] εἰσί in ras. 1 litt. B3. 10. ἤ] supra scr. D3, 11. ἡ — τμημάτων] ὁ μέγιστος κύκλος D. μεγίστου] mg B, om C. 15. εἰσί] comp B, εἰσίν D. 16. ΕΒ] Β Ε D. 17. πρὸς τήν] πρὸ |στὴν] D, post ό add. σ D3. 19. Θ Ζ] A, Ζ Θ BCD. 24. πρός] corr. ex πρώ C3. διπλῆ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ τῆς Ε Β διπλῆ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ρκ, καταλείπεται ὁ λόγος τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ κδ ιε νζ. καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ζ Θ περιφερείας μοιρῶν ρπ, ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἐστιν κδ ιε νζ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Η περιφερείας μοιρῶν ἐστιν κγ ιθ νθ, αὐτὴ δὲ ἡ Θ Η τῶν αὐτῶν ια μ ἔγγιστα. πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ε Η γίνεσθαι μοιρῶν ρκ, τὴν δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ μβ α μη. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ τμημάτων ρκ ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπτλῆν τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἔσται μβ α μη. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ H περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μα ο ιη, ἡ δὲ Θ Η τῶν αὐτῶν κ λ θ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι. 2. ρπ] ρ- corr. ex ο D3. ὑπ᾿] ὑπό D. 3. τμημάτων] -ν supra scr. D3. 5. καταλείπεται] λείπεται D. 6. Ζ Θ] corr. ex Ξ Θ D. 7. ιε νζ] corr. ex ιν νε D 8 περιφερείας] ς supra scr. D δέ] δʼ D. 9. τῶν] τόν C. 10. νζ] κζ BC, mg. ν B. 11. νθ] νη D. 12 μ] λθ νθ in ras. D3. ἔγγιστα] in ras. D3. 15. δέ] δʼ D. 18. ὁ (alt.)] corr. ex ὑ C. 19. Θ Η] 6 e corr. D3. 20. πρὸς τά] corr. ex πρὸ στὰ D3. 21. ρκ] ἑκάτων εἴκοσι mut. in ἑκατὸν εἴκοσῖ D3. 24. λ] in ras. A. τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος περιφερειῶν ἐπιλογιζόμενοι τὰς πηλικότητας ἐκθησόμεθα κανόνιον τῶν τοῦ τεταρτημορίου μοιρῶν παρακειμένας ἔχον τὰς πηλικότητας τῶν ὁμοίων ταῖς ἀποδεδειγμέναις περιφερειῶν· καί ἐστιν τὸ κανόνιον τοιοῦτον· 2. ἐπιλογισάμενοι, sec. -ι- corr. ex -η-, D. 5. περιφε- ρειῶν] περιφερείαις A.