Ϛ. Πάντα τὰ κατὰ τεχνικὴν διέξοδον ὑπὸ φύσεως ἐν τῷ κόσμῳ διατεταγμένα κατὰ μέρος τε καὶ ὅλα φαίνεται κατὰ ἀριθμὸν ὑπὸ τῆς προνοίας καὶ τοῦ τὰ ὅλα δημιουργήσαντος νοῦ διακεκρίσθαι τε καὶ κεκοσμῆσθαι βεβαιουμένου τοῦ παραδείγματος οἷον λόγον προχαράγματος ἐκ τοῦ ἐπέχειν τὸν ἀριθμὸν προυποστάντα ἐν τῇ τοῦ κοσμοποιοῦ θεοῦ P διανοίᾳ, νοητὸν αὐτὸν μόνον καὶ παντάπασιν ἄυλον, οὐσίαν μέντοι τὴν ὄντως τὴν ἀίδιον, ἵνα πρὸς αὐτὸν ὡς λόγον τεχνικὸν ἀποτελεσθῇ τὰ σύμιπαντα ταῦτα, χρόνος, κίνησις, οὐρανός, ἄστρα, ἐξελιγμοὶ παντοῖοι. ἀναγκαῖον ἄρα, τὸν ἐπιστημονικὸν ἤδη ἀριθμὸν ἐπὶ τῶν τοιούτων ὑπάρχοντα καθʼ ἑαυτὸν ἡρμόσθαι καὶ οὐχ ὑπ᾿ ἄλλου, ἀλλʼ ὑφ᾿ ἑαυτοῦ. πᾶν δὲ ἡρμοσμένον ἐξ ἐναντίων πάντως ἥρμοσται καὶ ὄντων γε· οὔτε γὰρ τὰ μὴ ὄντα ἁρμοσθῆναι οἷά τε οὔτε τὰ ὄντα μέν, ὅμοια δὲ ἀλλήλοις, οὔτε τὰ διαφέροντα μέν, ἄλογα δὲ πρὸς ἄλληλα· ὑπολείπεται δὴ τά, ἐξ ὧν ἁρμόζεται, καὶ ὄντα εἶναι καὶ διάφορα καὶ λόγον πρὸς ἄλληλα ἔχοντα. ἐκ τοιούτων ἄρα καὶ ὁ ἐπιστημονικὸς VI. 10. Phil. μβ—να. — Boëth. I. 8. VI, 1. ΠάνταG2 in ras. (-ως ?) — 2. τεταγμένα S — 5. κο- σμῆσθαι P διακεκ. CS κατακεκ. — διαβεβ. P — 6. ἐκ τοῦ pro τῷ, quod in edit. Wotfl. scripsi, e P restitui: „ eo, quod numerus imaginis instar est“; καὶ οἷον Gm; post λόγον add. καὶ G2 παράδ. ἐκ τοῦ οἷον ἀρχῆς λόγον πρὸ χαράγματος P οἷον ἀρχὴν καὶ λόγον προχ. C, idem omisso οἷον S οἷον post λόγον H καὶ οἷον ἀρχῆς λόγον καὶ προχ. Γ ἐκ τοῦ ἀρχῆς λόγον καὶ οἷον προχ. coni. Ast. p principale in animo condi- toris exemplar Boëth. — 8. αὐτὸν] ὄντα add. CS αὐτομόνον G — 9. τὴν ἀιδ. Gm καὶ ἀίδ. Cμ om. cet. — 10. ἀποτε- λεσθείη CS — 12. τὸν ἐπιστ.] καὶ αὐτὸν praemittunt Cμ — ἤδη] δὴ CSH — 15. τὸ ἡρμοσμ. CS — πάντα m — 18. ἄλλογα P — 20. ἐκ τούτων P ἀριθμός· ἔστι γὰρ τὰ ἐν αὐτῷ πρώτιστα εἴδη δύο οὐσίαν τε ἔχοντα τὴν τῆς ποσότητος καὶ διαφέροντα ἀλλήλων καὶ οὐχ ἑτερογενῆ, περιττὸν καὶ ἄρτιον, καὶ ἐναλλὰξ ὑπὸ θαυμαιτῆς καὶ θείας φύσεως διηρμοσμένα ἀλλήλοις ἀχωρίστως καὶ ἑνοειδῶς, ὡς αὐτίκα εἰσόμεθα. ζ. Ἀριθμός ἐστι πλῆθος ὡρισμένον ἢ μονάδων σύστημα ἢ ποσότητος χύμα ἐκ μονάδων συγκείμενον, τοῦ δὲ ἀριθμοῦ πρώτη τομὴ τὸ μὲν ἄρτιον, τὸ δὲ περιττόν. ἔστι δὲ ἄρτιον μέν, οἷόν τε εἰς δύο ἷσα διαιρεθῆναι μονάδος μέσον μὴ παρεμπιπτούσης, περιττὸν δὲ τὸ μὴ δυνάμενον εἰς δύο ἶσα μερισθῆναι διὰ τὴν προειρημένην τῆς μονάδος μεσιτείαν. οὗτος μὲν οὖν ὁ ὅρος ἐκ τῆς δημώδους ὑπολήψεως· κατὰ δὲ τὸ Πυθαγορικὸν ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ τὴν εἰς τὰ μέγιστα καὶ τὰ ἐλάχιστα κατὰ ταὐτὸ τομὴν ἐπιδεχόμενος, μέγιστα μὲν πηλικότητι, ἐλάχιστα δὲ ποσόττι, κατὰ φυσικὴν τῶν δύο τούτων γενῶν ἀντιπεπόνθησιν, περισσὸς δὲ ὁ μὴ δυνάμενος τοῦτο παθεῖν, ἀλλʼ εἰς ἄνισα δύο τεμνομενος. ἑτέρῳ δὲ τρόπῳ κατὰ τὸ παλαιὸν ἄρτιός ἐστιν ὁ καὶ εἰς δύο ἶσα τμηθῆναι δυνάμενος καὶ εἰς ἄνισα δύο. πλὴν VII. lo. Phil. νβ— ξα. — lambl. p. 11 seq. — Theon. 3—5. — Boëth. I. 3. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 4. 5. 2. τὴν τῆς γῆς ποσότητα P — 4. θαυμαστοῦ P — 5. ἡρμοσμ. P ἐνηρμοσμ. CSH VΙΙ. Περὶ ἀριθμοῦ m; in G lacuna, quam G2 hisce expleuit uerbis: Ὅρος ἀριθμοῦ καὶ διαίρεσις. — Ὅροι ἀριθμο καὶ τῶν εἰδῶν αὐτοῦ μ Ὅρος ἀριθμρῦ — 7. Ἁπλῶς γὰρ ἀριθμ. SH — πλῆθ. ὡρ. ἢ om. ἢ om. S — 8. χύμα G, χῦμα ceteri, cf. Drac. Straton. 57. 6; 95. 25. 100. 20. — 10. ἔστι δὲ om. S — ἄρτιον cf. Eucl. VII, ὅρ. Ϛ, ζ — 11. μέσης CSH ἐν μέσῳ Io. Ph. νδ — 12. μερισθ.] διαιρεθῆναι CSΗ — 18. τὴν φυσ. CSH — 22. τμεθῆναι P τῆς ἐν αὐτῷ ἀρχοειδοῦς δυάδος θάτερον τὸ διχοτόμημα μόνον ἐπιδεχομένης τὸ εἰς ἶσα, ἐν ᾗτινι οὖν τομῇ παρεμφαίνων τὸ ἕτερον εἶδος μόνον τοῦ ἀριθμοῦ, ὅπως ἂν διχασθῇ, ἀμέτοχον τοῦ λοιποῦ· περισσὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καθʼ ἡντιναοῦν τομὴν εἰς ἄνισα πάντως P γινομένην ἀμφότερα ἅμα ἐμφαίνων τὰ τοῦ ἀριθμοῦ δύο εἴδη οὐδέποτε ἄκρατα ἀλλήλων, ἀλλὰ πάντοτε σὺν ἀλλήλοις. ἐν δὲ τῷ διʼ ἀλλήλων ὅρῳ περιττός ἐστιν ὁ μονάδι ἐφʼ ἑκάτερα διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ, τουτέστιν ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, ἄρτιος δὲ ὁ μονάδι διαφέρων ἐφʼ ἑκάτερον περισσοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστι μονάδι μείζων καὶ μονάδι ἐλάσσων. η. Πᾶς ἀριθμὸς τῶν παῤ ἑκάτερα συντεθέντων ἅμα ἥμισύς ἐστι καὶ τῶν ὑπὲρ ἕνα ἑκατέρωθεν κειμένων ὁμοίως ἥμισύς ἐστι καὶ ἔτι τῶν ὑπὲρ ἐκείνους καὶ τοῦτο μέχρις οὗ δυνατόν. μονωτάτη δὲ ἡ μονάς διὰ τὸ μὴ ἔχειν ἑκατέρωθεν αὐτὴν δύο ἀριθμοὺς ἑνὸς μόνου τοῦ παρακειμένου ἥμιούς ἐστιν· ἀρχὴ ἄρα πάντων φυσικὴ ἡ μονάς. καθʼ ὑποδιαίρεσιν δὲ τοῦ ἀρτίου τὸ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιον, τὸ δὲ περισσάρτιον, τὸ δὲ ἀρτιοπέριττον· ἐναντία μὲν ἀλλήλοις VIII. lo. Phil. ξβ— οη. — lambl. p. 26 —29. — Theon. 5. 8. — Boëth. l. 4–6. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 5. 6. 2. ἐπιδεχομένου G1 -όμενος G2 — τομῇ om. H — 5. ////ἄριθ G — ἄνισον P — 6. ἐμφαίνοντα, τοῦ ἀρ. P — 8. ἀλλήλων] G2 del. ν. — 9. ἀριθμοῦ om. H — 11. ἑκά- τερα C ἑκάτερα τὰ μέρη lo. Ph. ξα — ἀριθμοῦ om. SH — 12. μονάδι om. P — ἐλ. τοῦ περισσοῦ H VIII. Ὅτι φύσει ἀρχή ἐστιν ἡ μονάς τοῦ ἀριθ. μοῦ H in mrg. — 13. ἑκάτερα] ἑκατέρου lo. Phil. ξβ κειμένων add. C — συντεθειμένων — 14. 15. καὶ τῶν . . . . ἐστι om. G1, in mg. G2 — 17. αὐτῆς S — 19. μονὰς καθ᾿ αὑτό διαίρεσις δὲ P ὥςπερ ἀκρότητες τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ ἀρτιοπέρισσον, κοινὸν δὲ ἀμφοτέρων ὥςπερ μεσότης τὸ περισσάρτιον. Ἀρτιάκις οὖν ἄρτιος ἄριθμός ἐστιν ὁ αὐτός τε εἰς δύο ἶσα δυνάμενος διχασθῆναι κατὰ τὴν τοῦ γένους φύσιν καὶ τῶν ἑαυτοῦ μερῶν ὁποτερονοῦν τοιοῦτον ἔχων δίχα διαιρετόν καὶ πάλιν κατὰ τὰ αὐτὰ τῶν ἐν ἐκείνῳ μερῶν ὁποτερονοῦν εἰς δύο ἶσα διαιρετὸν καὶ μέχρις ἂν εἰς τὴν φύσει ἄτομον μονάδα καταντήσῃ ἡ τῶν ἀεὶ ὑπομερισμῶν διαίρεσις. οἷον ὑποδείγματος χάριν ὁ ξδ· τούτου γὰρ ἥμισυς ὁ λβ καὶ τούτου ὁ ιϚ καὶ τούτου ἥμισυς ὁ η καὶ τούτου ὁ δ καὶ τούτου ὁ β, ἔπειτα τὸ τελευταῖον μονὰς τούτου ἡμίσεια, ἥτις φύσει ἄτομος οὖσα οὐκέτι ἐπιδέχεται τὸ ἥμισυ. παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ καί, ὅ τι ἂν ἐν αὐτῷ μέρος ληφθῇ, πάντως ἀρτιάκις ἀρτιώνυμον εἶναι τὴν προςηορίαν, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῇ ποσότητι τῶν ἐν αὐτῷ μονάδων ἀρτιάκις ἀρτιοδύναμον, μηδέποτε δὲ ἑτέρῳ γένει κοινωνεῖν ἑκάτερον τούτων. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιος ὠνόμασται, ὅτι αὐτὸς ἄρτιος ὢν καὶ τὰ μέρη καὶ τὰ τῶν μερῶν μέρη μέχρι μονάδος ἄρτια 1. καὶ τὸ] τὸ om. G — 3. περισσάρτιον] τοῦ τε ἀρτιά- κις ἀρτίου καὶ ἀρτιοπερίσσου add. S VIII, 4. Ὅρος τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου G in mrg. Περὶ ἀρτιάκις ἀρτίου CH, cf. Eucl. VII, ὅρ. η; lambl. p. 37. 41; lo. Phil. ξη, praef. p. V. — 5. διχασθῆναι] τμηθῆναι SH — 7. ἔχον GP, om. C — αἱρετὸν G1, δι add. G2 — 8. ἐν om. G1P, add. G2SH — ἐκείνων m ἐκείνου C — 9. φύσ/// G1 φύσει G2 φύσιν P — 10. ὑποδιαίρεσις S — 11. χάριν] ἔστω add. C — τὸ ἥμισυ — 12. ἥμισυς om. C — 13. ὁ β] πάλιν praem. SH — εἶτα S — 13. 14. τούτου ἥμισυ H — 14. παραδέχεται S — 17. τῇ προςηγορίᾳ G2CSH, αὐτῇ add. S — 18. ἀρτιάκις om. P — 19. δὲ om. G — 20. μήτι G2CSH μὴ ἄρα lo. Phil. ξζ — ἄρα om. C — 21. 22. καὶ τὰ μέρη om. C ἀεὶ ἔχει ὀνόματί τε καὶ δυνάμει· καὶ ἑτέρως πᾶν μέρος, ὃ ἐὰν ἔχῃ, ἀρτιάκις ἄρτιον κατὰ τὸ ὄνομά ἐστι, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιόν ἐστι κατὰ τὴν P δύναμιν. γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ὥςτε μηδένα διαφυγεῖν, ἀλλʼ ἐξ ἑνὸς πάντας ὑποπίπτειν αὐτῇ, εἰ γένοιτο ἂν οὕτως· ἀπὸ μονάδος ὡς ἀπὸ ῥίζης κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον προχωροῦντι μέχρις ἀπείρου, ὅσοι καὶ ἂν γένωνται, οὗτοι πάντες ἀρτιάκις ἄρτιοι εἰσιν, ἄλλους δὲ παρὰ τούτους ἀμήχανόν ἐστιν εὑρεῖν, οἷον πρὸς ὑπόδειγμα α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ, φιβ καὶ ἐφ᾿ ὁσονοῦν. ἕκαστος δὴ τῶν προκειμένων γέγονε μὲν κατὰ τὸν ἀπὸ μονάδος διπλασίονα ἀεὶ λύγον, ὑπάρχει δὲ ἀρτιάκις ἄρτιος πάντως καὶ πᾶν δὲ μέρος, ὃ ἂν εὑρεθῇ ἔχων, πάντως καὶ παρώνυμόν ἐστιν ἑνὸς τῶν ἐντὸς αὐτοῦ καὶ μονάδος σύστημα ἐν τούτῳ ὑπάρχει τοσοῦτον, ὁπόσος τῶν ἐντὸς αὐτοῦ εἷς τις ἐστί, κατὰ ἀντιπερίστασιν μέντοι καὶ ἀμοιβήν, ἐὰν μὲν ὦσιν ἄρτιοι αἱ ἐκθέσεις τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασιασμῶν· μία μὲν οὐχ οἵα τε μεσότης εὑρεθῆναι, πᾶντως δὲ δύο, ἀφʼ ὧν ἀρχομένη ἡ ἀντιπερίστασις καὶ ἀμοιβὴ μερῶν πρὸς δυνάμεις καὶ 1. ἀεὶ om. — ἑτέρως] ὅτι add. PSH — 2. ἐὰν GP. ἂν cet. — 3. ἔσται H — ἐστι om. H — 2. 3. ἀρτιάκις . . . αὐτὸ καὶ om. C — 5. διαφεύγειν ἐκφυγεῖν (διαφεύ- ξεται) Io. Phil. οβ — ἐξ ἑνὸς] ἑξῆς G2SH, ἐξ ἑν. in mrg. — πάντα H — 6. εἰ Gm καὶ PH, om CS — ἀπὸ μον. ὡς om. P — 8. καὶ om. CSH — ἂν om. P — γένοιντο CS γίνωνται P — 10 ἐστιν om. CSH — εὑρεῖν om. G m — 12. δὴ] γὰρ mC δὲ H — προκειμ.] προειρημένων C — 13. ἀεὶ om. P — 16. μονάδων CSH — 17. ἐν τούτῳ πρὸς τοῦτο S om. C — τοσούτων C — ὁπόσον P -ων CSH — 19. μὲν ὦσιν] μέλλωσιν P — ἄρτιαι S — 20. οὐχ] οὖν praem. G1, del. G2 δυνάμεων πρὸς μέρη προχωρήσει τάξει, πρῶτον μὲν ἐπὶ τοὺς παῤ ἑκάτερα δύο, εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπερκειμένους ἑκατέρωθεν, μέχρις ἂν ἐπὶ τοὺς ἀκροτάτους ἀφίκηται, ὥςτε καὶ τὸ ὅλον ἀντιπαρωνυμεῖσθαι τῇ μονάδι καὶ τὴν μονάδα τῷ ὅλῳ· οἷον λόγου χάριν, ἐὰν τὸν ρκη θῶμεν τὸν μέγιστον, ἀρτιογενεῖς ἔσονται αὐτῷ αἱ ἐκθέσεις τῶν ὅρων, ὀκτὼ γὰρ αἱ μέχρις αὐτοῦ πᾶσαι, καὶ μίαν μεσότητα οὐχ ἕξουσιν, ἀδύνατον γὰρ ἐν ἀρτίῳ, ἀλλʼ ἀναγκαίως δύο, τήν τε η καὶ τὴν ιϛ, αἵτινες ἀνταποκρινοῦνται ἀλλήλαις παρὰ μέρος· τοῦ γὰρ ὅλου τοῦ ρκη ὄγδοον μέν ἐστι τὰ ιϛ, ἔμπαλιν δὲ ἑκκαιδ έκατον τὰ η· καὶ προιόντες ἐφʼ ἑκάτερον τέταρτον μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ δ, καὶ πάλιν ἥμισυ μὲν τὰ ξδ, ἑξηκοστοτέταρτον δὲ τὰ β, καὶ τελευταῖον κατὰ τὰς ἀκρότητας ἑκατοστοεικοστόγδοον μὲν ἡ μονάς, ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ἔμπαλιν τὰ ρκή. ἐὰν δὲ ἐν περισσοῖς ὅροις ἡ ἔκθεσις γένηται, οἷον ἐν ἑπτά, προχειρισαμένων ἡμῶν τὰ ξδ, ἡ μεσότης ἀναγκαίως μία ἔσται κατὰ τὴν τῶν περισσῶν P φύσιν καὶ αὐτὴ μὲν ἑαυτῇ ἀνταποκρινεῖται διὰ τὸ σύζυγον μὴ ἔχειν, οἱ δὲ ἑκατέρωθεν αὐτῆς ἀεὶ ἀλλήλοις, μέχρις ἂν εἰς τὰ ἄκρα ἡ ἀνταπόκρισις τελευτήσῃ· οἷον ἑξηκοστοτέταρτον μὲν ἡ μονὰς ἔσται, 2. ἐπὶ τὰ P — εἶτα ἐπὶ] εἶτα ὑπὲρ GmPC εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπὲρ ἐκείνους ὑπερκ. S — 6. ἀρτιογενεῖς] ἀρτιοπλη- θεῖς C -πλησθεὶς μ -ταγεῖς mSΓ -παγεῖς H — 7. αὐτοῦ CS — 9. 10. τὴν] τὸν bis G2 CSH — ἀλλῆλαι P — 11. τῶν ρκη P — 12. ἑξκαιδ. mG2 — προιόντες GP (intell. οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι . . ἔχουσι cf. Io. Phil. ογ.) προιόντι ceteri. — 13. ἑκάτερα C — τριακοστόδυο G1 ν add. G2 — 14. ἑξηκοντατέταρτον G1P — 15. ἐκατοστοεικόγδοον P — 18. προχειρησαμένων P — 19. μεσότης] πάντως add. H — 20. αὐτὴ] αὕτη P ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ξδ, καὶ ἥμισυ μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ β, καὶ τέταρτον μὲν τὰ ιϚ, ἑκκαιδ έκατον δὲ τὰ δ, ὄγδοον δὲ ἄνευ ἀντιδιαστολῆς αὐτὰ τὰ ή. συμβέβηκε δὲ πάσαις ταῖς ἐκθέσεσι συντεθειμέναις σωρηδὸν ἴσαις εἶναι τῷ μετʼ αὐτὰς παρὰ μονάδα, ὥςτε ἀναγκαίως ἡ ὁπωςοῦν συγκεφαλαίωσις περισσὸς ἀριθμὸς ἔσται· αἰεὶ γὰρ ὁ παρὰ μονάδα ἶσος τῷ ἀρτίῳ περισσός ἐστι. χρησιμεύσει δʼ ἡμῖν αὕτη ἡ ἐπίγνωσις, ὅσον οὐδέπω, πρὸς τὴν τῶν τελείων ἀριθμῶν σύστασιν· ὑποδείγματος δὲ χάριν τῷ σνϚ οἱ ἐντὸς αὐτοῦ μέχρι μονάδος ἶσοί εἰσι συγκεφαλαιωθέντες παρὰ μίαν μονάδα, τῷ δὲ ρκη τῷ εὐθὺς ὑπʼ αὐτὸν οἱ ἐντὸς αὐτοῦ πάντες ὁμοίως εἰσὶν ἶσοι παρὰ μίαν μονάδα καὶ τοῖς συνεχέσι δὲ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ οἱ ἐντός, καθὰ καὶ αὐτὴ ἡ μονὰς παρὰ μονάδα ἴση τῷ μετʼ αὐτήν, ὅ ἐστι τῷ β, καὶ οἱ συναμφότεροι παρὰ μονάδα τῷ μετʼ αὐτοὺς καὶ οἱ σύντρεις παρὰ μονάδα τῷ ἑξῆς, καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον προχωροῦν ἄπταιστον εὑρήσεις. κἀκεῖνο δὲ μεμνῆσθαι ἀναγκαιότατον· ἐὰν μὲν γὰρ ἄρτιοι ὦσιν αἱ τοῦ προκεχειρισμένου ἀρτιάκις ἀρτίου ἐκθέσεις, πάντως τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἄλληλα πολυπλασιαζομένων 1. κατὰ τὴν μον. om. SH μονάδαν P — τὰ ξδ C — 2. ἑξκαιδ. mG2 — 3. ἀντιδιαστολῆς] ἀντὶ G2 ex al- tero ἄνευ corr., διαστολῆς SH — 4. ή] om. G1 ὀκτώ add. G2 — συντιθεμέναις C — 5. σωρηδ G1 ὸν G2 — ἴσας C — εἶναι] ἐνὶ P ἑνὶ HΓ, qui post μονάδα add. γίνεσθαι — 6. ὁποσονοῦν G2 ὁποσωνοῦν S ὁποσοῦν C — 7. ἐστι] ἔσται SH — μονάδ G1 -α G2 — χρησιμεύσηῃ P — εύει CSH — 9. γνῶσις C — 11. τῶ [τῶν] σνϚ G τῶν ??νς — αὐ- τοῦ] πάντες add. CSH — ἄχρι H — εἰσὶ om. S — 12. μίαν om. S — 13 ὑπʼ] μετ᾿ — πάντες] μέχρι μονάδος add. — 14. καὶ ἐν τοῖς — 18. σὺν τρεῖς P(G1 ?) — 20 ἄρτιαι G2S — 21. προκεχειρ. om. S — ἀρτίου] ἀριθ- μοῦ add. H συντελούμενον ἶσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν μέσων πρὸς ἄλληλα, ἐὰν δὲ περισσαί, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πρὸς ἑαυτό· ἅπαξ γὰρ ρκη ἐν ἀρτίαις ἐκθέσεσιν ἶσόν ἐστι τῷ ὀκτάκις ιϚ καὶ ἔτι τῷ δὶς ξδ καὶ πάλιν τῷ τετράκις λβ καὶ τοῦτο διʼ ὅλου· ἐν δὲ περισσαῖς ἐκθέσεσιν ἶσον τὸ ἅπαξ ξδ τῷ δὶς λβ καὶ τοῦτο τῷ τετράκις ιϚ καὶ τοῦτο πάλιν τῷ ὀκτάκις η μόνον μέσου πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζομένου. θ. Ἀρτιοπέριττος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τῷ γένει καὶ αὐτὸς ἄρτιος ὤν, ἀντιδιαστελλόμενος δὲ ἰδικῶς τῷ προφρασθέντι ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ὁ τὴν μὲν εἰς δύο ἶσα διαίρεσιν ἐπιδεχόμενος κατὰ τὸ κοινὸν γένος, τῶν μέντοι μερῶν ἑκάτερον εὐθὺς εἰς δύο ἶσα ἄτμητον ἔχων, οἷον P ὁ ϛ, ὁ ι, ὁ ιδ, ὁ ιη, ἡ κβ, ὁ κϛ, οἱ ὅμοιοι· μετὰ γὰρ τὸ διχασθῆναι ἕκαστον τούτων ἀδίχαστα εὐθὺς τὰ μέρη εὑρίσκεται. συμβέβηκε δὲ αὐτῷ πᾶν, ὃ ἐὰν εὑρεθῇ μέρος ἔχων, ἐναντιώνυμον τῇ δυνάμει εἶναι καὶ πᾶσαν μέρους ποσότητα ἐναντιοδύναμον τῷ ὀνόματι, μηδέποτε δὲ μηδενὶ τρόπῳ IX. Io. Phil. οθ— πη. — lambl. p. 29—31. — Theon. 9. — Boëth. l. 7. — Schol. NΓ Nobb. p. 6. 1. ἔστι S — ὑπὸ] ἀπὸ P — 3. ὁ ρκη PC — ἐν ἀρτ.] ἐναντίαις H — 4. ἴσος PC — 7. πάλιν om. H — 8. μόνον G μόνου τοῦ ceteri — ἑαυτὸ μ — πολλαπλασιαζ. P, ante μόνον G2, πολυπλ. ΗΓ, om. G1mCμS IX. Περὶ ἀρτιοπερίσσου mCμ H Περὶ τοῦ ἀρ- τιοπ. S — 10. εἰδικῶς CSH — 13. ἑκάτερον G2 [α ?] — εὐθὺς om. S — 15. ὁ Ϛ, ὁ ι om. H — 16. καὶ οἱ ὅμ. CH — 17. εὑρεθήσεται (εὑρίσκ. in mrg.) — 18. ἂν CSH — ἔχον Gm — 19. εἶναι om. H — πᾶσαν μέρ. mCS πᾶσαν τὴν τοῦ μ. G πᾶσαν τῆν τοῦ μ. PH — 20. δὲ om. G ὁμογενῆ τὴν δύναμιν τοῦ μέρους τῷ αὐτῷ ὀνόματι ὑπάρχειν· οἷον ἐφʼ ἑνὸς τοῦ ιη τὸ μὲν ἥμισυ ἀρτιακῶς ὠνομασμένον ὑπάρχει θ, περισσὸν τῇ δυνάμει, τὸ δὲ τρίτον ἔμπαλιν περισσῶς ὀνοματοπεποιημένον Ϛ ἄρτιον τῇ δυνάμει· τὸ δὲ ἐξ ἀντιστροφῆς γ καὶ τὸ θον β, κἀπὶ τῶν ἑτέρων ὁ αὐτὸς εὑρεθήσεται τρόπος. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο τοιαύτης προςηγορίας τέτευχεν, ὅτι ἄρτιος ὢν περισσῶν τῶν ἡμισευμάτων εὐθὺς τετύχηκε. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων, ὅ ἐστι περισσῶν, εὐτάκτως ἐκτεθέντων, μέχρις οὗ βούλει, δυάδι πολυπλασιασθέντων· οἱ γὰρ ἀποτελούμενοι γένοιντο ἂν τάξει οὗτοι Ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ, κϛ, λ, καὶ μέχρις ἂν προχωρεῖν ἐθέλῃς· διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων τετράδι οἱ μείζονες ἀεὶ τῶν ἐγγὺς ἐλαττόνων· αἴτιον δὲ τούτου, ὅτι οἱ ἐξ ἀρχῆς γνώμονες αὐτῶν, τουτέστιν οἱ περισσοί, δυάδι ἀλλήλων ὑπερ φέροντες δυάδι ἐμηκύνθησαν, ἵνα οὗτοι γένωνται, δυὰς δὲ δυάδα πολυπλασιάσασα τετράδα ποιεῖ. ἐν οὖν τῷ φυσικῷ ὕφει τοῦ ἀριθμοῦ εὑρεθήσονται οἱ ἀρτιοπέρισσοι πέμπτοι μὲν ἀπʼ ἀλλήλων, τετράδι δὲ ὑπερέχοντες, τρεῖς δὲ ὑπερβαίνοντες, δυάδι δὲ μηκυνομένων 1. αὐτοῦ S ἑαυτοῦ C — 3. ὀνομασμ. G — τὸ δὲ θ περ. S ὁ δὲ θ περισσὸς H — 4. ὠνοματοπεποιημένον G — 5. δυ- νάμει Gm (H in mrg.) ὑποστάσει PCSH — G1 ον G2 — ἀντιστρόφου mC ἀναστρόφου P ἀναστροφῆς S — 6. θG1 -ον G2 — 7. μήτι ἄρα S — 12. διάδι G — πολλαπλασ. CS — 15. ἐθέλοις C θέλῃς S — 16. ἐγγὺς] μ add.: σχόλιον τινὸς ἀνωνύμου· ἀναγκαῖον κτλ. seq. Io. Phil. Schol. πδ. — 18. ὑπερέχοντες C — 19. ///μικ///ύνθησαν G1 ι in η mut. G2 — γενῶνται P γεννῶνται S — 23. τρεῖς] τριάδι PH — δυάδι δὲ] δὲ om. G τῶν περισσῶν γεννώμενοι. ἐναντιοπαθεῖν δὲ λέγονται τοῖς ἀρτιάκις ἀρτίοις, ὅτι τούτων μὲν τὸ μέγιστον ἄκρον μόνον διαιρετόν, ἐκείνων δὲ τὸ ἐλάχιστον μόνον ἦν ἀδιαίρετον· καὶ δὴ καί, ὅτι ἐπʼ ἐκείνων μὲν ἡ ἀντιπερίστασις τῶν μερῶν ἀπʼ ἀκροτήτων εἰς μεσότητα ἢ μεσόσητας ἀπετέλει τὸ ὑπό‾ ἶσον τῷ ἀπό‾ ἢ τῷ ὑπό‾· τούτων δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀμοιβὴν καὶ ἐξέτασιν ὑποδιπλάσιον τὸ μέσον τῶν δύο ἄκρων συντεθέντων, ἢ εἰ δύο εἴη τὰ μέσα, καὶ αὐτὰ ἶσα ἀμφότερα τοῖς δυσὶν ἄκροις. ι. Περισσάρτιος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὸ τρίτον εἶδος τοῦ ἀρτίου ἐμφαίνων, κοινὸς ὢν ἀμφοτέρων P τῶν εἰρημένων ὡςανεὶ δύο ἀκροτήτων μία τις ὢν αὐτὸς μεσότης· ὅμοιος γὰρ κατὰ μέν τι τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ ὑπάρχει, κατὰ δέ τι τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, καὶ μὲν τοῦ ἑτέρου ἀπήλλακται, τούτῳ κοινωνεῖ τῷ λοιπῷ, δὲ κοινόν τι ἔχει πρὸς ἕτερον, τούτῳ διαφέρει τοῦ λοιποῦ. ἔστι δέ, ὅταν ἀριθμὸς ἄρτιος X. Io. Phil. πθ — ??ε. — lambl. p. 31—35. — Theon. 10. — Boëth. l. 8. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 6. 7. 1. γενόμενοι C (γεννώμ. in mrg.) procreati Boëth. — 2. ἀρ- τιάκοις ἀρτ. GP — 4. ἦν om. SH — 6. 7. τοῖς ὑπο ἢ τῶ ἀπο G2 τῷ ὑπὸ ἢ ἀπὸ C τὸ ἀπὸ ἶσον τῷ ἀπὸ τῷ μείζῳ ἢ τοῖς ὑπὸ τοῦ μέσου P, in mrg. †. intellegendum τὸ ὑπὸ τῶν ἀκροτητων ἶσον τῷ ἀπὸ τῆς μεσότητος ἢ τῷ ὑπὸ τῶν μεσοτήτων — 7. τούτων] ἐπὶ praemitt. G2H ἐπὶ τῶν ἀρτιοπερίσσων add. S — 8. ἀντεξέτασιν G2CH καὶ κατ᾿ ἐξέτασιν S — 9. εἰ om. G1m — ἢ καὶ δύο εἰσί P — 10. δύο H X. Περὶ περισσαρτίου codd. tit. om. P — 12. ὢν om. CSH — 13. προειρημένων SH — 15. ὑπάρχει om. H — 16. ἀπήλακται P — 17. ᾧ] ὃ H — τὸν ἕτερον H τὸ C — 18. λοιποῦ] ἑτέρου SH εἰς δύο ἶσα διαιρεθῆναι δυνάμενος διαιρούμενα ὁμοίως τὰ ἑαυτοῦ μέρη ἔχῃ, ἔστι δʼ ὅτε καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη, μέχρι μέντοι μονάδος μὴ δυνάμενος τὴν τῶν μερῶν λύσιν ἀγαγεῖν· οἷός ἐστιν ὁ κδ, ὁ κη, ὁ μ· ἥμισυ μὲν γὰρ ἕκα αστος τούτων ἴδιον ἔχει καὶ πάντως ἡμίσους ἥμισυ· ἔστι δʼ ὅτε ἐν αὐτοῖς τις εὑρίσκεται καὶ ἐπὶ πλέον τὸν διχασμὸν ἐπιδεχόμενος εἰς τὰ μέρη, οὐδεὶς μέντοι τὸ παράπαν μέχρι τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος τὰ μέρη μεριστὰ εἰς ἡμίση ἕξει. τῷ μὲν οὖν πλείονας μιᾶς τομῆς ἐπιδέχεσθαι ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιοπερίσσου, τῷ δὲ μὴ ἀπολήγειν ποτὲ εἰς μονάδα αὐτοῦ τὰς τομὰς ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου. συμβέκηκε δʼ αὐτῷ μόνῳ ὑφʼ ἓν τὰ ἑκατέρῳ ἐκείνων ἰδίως συμβεβηκότα καὶ πάλιν ἃ μηδετέρῳ· καὶ γὰρ ἐκείνων ὁ μὲν τὸ μέγιστον μόνον μέρος εἶχε τμητόν, ὁ δὲ τὸ μικρότατον μόνον ἄτμητον, οὗτος δὲ οὐδέτερον· πλείονα μὲν γὰρ τοὺ ἑνὸς τμήματα ἐν τῷ μείζονι μέρει ἔχων ὁρᾶται, πλείονα δὲ τοῦ ἑνὸς ἄτμητα ἐν τῷ ἐλάττονι. καὶ πάλιν ἐστὶν ἐν αὐτῷ τινα μὲν μέρη μὴ ἐναντιωνυμοῦντα ταῖς δυνάμεσι μηδʼ ἑτερογενοῦντα πρὸς 1. διαιρούμενος P — 2. ἔχει P ἔχων C — 2. 3. ἔστι δʼ . . . μέρη om. — 3. ἄχρι H — μέντοι om. G1; tuetur Io. PhiI. ??α — 4. λῦσιν G — 5. ὁ κδ] ὁ ιβ praemittit P — μ] μη PH — 7. ἐν αὐτοῖς] καὶ τῶν ἐν αὐτῷ H — 8. ἐπι- δεχόμενον P — 9. φύσει om. H — 10. ἀτόμου om. S — ἥμισυ P — 11. τομὰς H τὰς τομὰς S — 13. μονάδας H — 16. μόνῳ om. C — ὑφ᾿ ἓν ἔχειν τὰς ἑκ. ἐκείνῳ P — 17. ἃ] τὰ S — μηδετέρῳ] ἔχειν add. G2 — καὶ γὰρ] ὅτι S — 19. οὗτος δὲ οὐδ.] τούτῳ δὲ οὐδέτερον τούτων ὑπάρχει P id. S, om. τούτων — 20. τμήματος P — 20. 21. ἐν τῷ μ. . . . ἄτμητα om. G1mP — 21. ὁρᾶται] ὑπάρχει S — 22. ἐστὶν] πάντως add. G2CSH αὐτὰς κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ἔνεστι δὲ πάντως καὶ ἕτερα ἐναντιωνυμούμενα ἑτερογενῶς ὑπὸ τῶν δυνάμεων κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιοπερίσσου· οἷον ἐν τῷ κδ οὐκ ἐναντιωνυμεῖ μὲν μέρη δυνάμεσι, τέταρτον Ϛ, ἥμισυ ιβ, ἕκτον δ, δωδέκατον β, ἐναντιοπαθεῖ δὲ τρίτον η, ὄγδοον γ, εἰκοστοτέταρτον α· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν παραπλησίως. γεννᾶται δὲ οὗτος ἐφόδῳ τινὶ ποικιλωτέρᾳ σημαίνων τρόπον τινὰ καὶ ἐν τῇ γενέσει αὐτοῦ, ὅτι μῖγμα ἀμφοτέρων ἐστίν· ἐπειδὴ γὰρ ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἐξ ἀρτίων ὑφίσταται τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασίων ἐς ἀεί, ὁ δὲ ἀρτιοπέρισσος ἀπὸ περισσῶν τῶν ἀπὸ τριάδος προιόντων P ἐς ἀεί, ἀναγκαῖον τοῦτον ἐξ ἀμφοτέρων τῶν γενῶν συνυφαίνεσθαι, ὡς κοινὸν ἀμφοτέρων. ἐκθώμεθα δὴ τοὺς ἀπὸ τριάδος περιττοὺς ἰδίᾳ εὐτάκτως ἐν ἑνὶ στίχῳ γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ καὶ ἐφεξῆς, τοὺς δὲ ἀπὸ τετράδος ἀρτιάκις ἀρτίους πάλιν ἐφεξῆς ἐν ἑτέρῳ στίχῳ κατὰ τὴν τάξιν τὴν αὐτῶν δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ καὶ ἐφεξῆς, μέχρις οὗ βούλει. ἀπὸ ὁποτέρου δὴ στίχου (ἀδιάφορον γάρ) τῷ πρώτῳ κειμένῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε ἐξ ἀρχῆς πάντας ἑξῆς τοὺς ἐν τῷ λοιπῷ στίχῳ καὶ τοὺς ἀποτελουμένους σημειοῦ, εἶτα 2. καὶ G2 in ras., καὶ ante ὑπὸ eras. G — 4. οὐκ om. G1mP — μέρος Gm μέρει S — 6. ὄγδ. γ om. H — 7. παραπλησ.] ὁμοίως H — δὲ] καὶ add. P — 8. τινὶ om. H — 10. καὶ ἐξ P — ὑφίστατο mCH nascebantur Boëth. — 11. διπλασίον G — 13. ἐς om. m — 14. συνυφάνεσθαι G συνυφίστασθαι — 17. ιθ] κα, κγ, κε, κζ add. H — 18. ἀρτίου P — 19. ἐν om. G — κατὰ τὴν ἑαυτῶν τάξιν CSH — 21. σκη, ??νϛ P φιβ add. C φιβ, ακδ ΗΓ — 24. πολλαπλ. S πάλιν τοῦ αὐτοῦ στίχου τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, μέχρις οὗ ἔχεις, καὶ τοὺς γινομένους ἀπογράφου· εἶτα τῷ τρίτῳ πάλιν ἀριθμῷ τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, καὶ μέχρις ἂν προχωρῇς, οὐδένες ἄλλοι σοι ἀπογεννήσονται πλὴν οἱ περισσάρτιοι. χάριν δὲ ὑποδείγματος χρησώμεθα τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ στίχου τῶν περισσῶν καὶ πολυπλασιάσωμεν αὐτῷ τοὺς ἐν τῷ ἑτέρῳ στίχῳ τάξει πάντας, τρὶς δ, τρὶς η, τρὶς ιϚ, τρὶς λβ, καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου· ἔσονται γὰρ ιβ, κδ, μη, ??Ϛ, οὓς δεῖ σημειώσασθαι ἐν ἑνὶ στίχῳ· εἶτα ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς πάλιν τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ τὸ αὐτὸ ποίει, πεντάκις δ, πεντάκις η, πεντάκις ιϚ, πεντάκις λβ· ἀποτελεσθήσονται γὰρ οἵδε κ, μ, π, ρξ· εἶτα πάλιν τῷ τρίτῳ ἀριθμῷ τῷ ζ τὸ αὐτὸ ποίει, ἑπτάκις δ, ἑπτάκις η, ἑπτάκις ιϛ, ἑπτάκις λβ· οἱ γὰρ γινόμενοί εἰσιν κη, νϚ, ριβ, σκδ, καὶ κατὰ τὰ αὐτά, μέχρις οὗ βούλει, προχωρεῖν συμφωνήσει σοι· 2. αὐτοὺς om. H — 2–4. μέχρις . . . ἄνωθεν om. P — 2. οὗ ἔχεις] ὅτου ἔχεις C ὅτου ἔχῃς H — 2. 3. καὶ τοὺς γεννωμένους ἀπογρ. post ἄνωθεν H — 3. πάλιν om. H — 4. προχωρῇς S -ῇ ceteri. — 5. ἀπογενήσονται GP — 6. χρησόμεθα H — 7. στίχου] τοῦ add. S — πολυπλασιά- σομεν H — 13. δεῖ] δὴ H — ἔν τινι στίχω S — 14. ποιεῖν CSΗ — 18. τρίτῳ om P — ποιήσεις CS ποιεῖν H — 22. καὶ om. P γ ε ζ θ ια ιγ ιε δ η ιϚ λβ ξδ ρκη σνϚ οἱ γνώ- μονες τοῦ περισσαρ- τίου. πλάτος. ιβ κδ μη ??Ϛ ρ??β τπδ ψξη κ μ π ρξ τκ χμ ‚ασπ κη νϚ ριβ σκδ υμη ω??Ϛ ‚αψ??β λϚ οβ ρμδ σπη φοϚ ‚αρνβ ‚βτδ μδ πη ροϚ τνβ ψδ ‚ανη ‚βωιϚ οἱ περισσάρτιοι. μῆκος. ὅταν δὴ τοὺς ἐξ ἑκάστου πολυπλασιασμοὺς ἐν ἰδίῳ στίχῳ τάξῃς παραλλήλους ποιούμενος τοὺς στίχους, φανήσεταί σοι θαυμαστῶς κατὰ μὲν τὸ πλάτος συμβαῖνον τὸ τῶν ἀρτιοπερίσσων· ἰδίωμα, ὅτι ἀεὶ τῶν ἄκρων ὁ μέσος ὑποδιπλάσιος, εἰ εἷς εἴη, εἰ δὲ δύο μέσοι, ἶσοι κατὰ σύνθεσιν· κατὰ δὲ τὸ μῆκος τὸ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων· τὸ γὰρ ὑπό‾ ἶσον τῷ ἀπό‾, εἰ μία εἴη μεσότης, ἢ τῷ ὑπό‾, εἰ δύο εἴησαν· ὥςτε τὰ ἀμφοτέρων ἰδιώματα τούτῳ μόνῳ συμβέβηκεν, ὡς ὄντι φυσικῷ μίγματι αὐτῶν.