Ἐπεὶ δ’ ἠνάγκασαν ἡμᾶς ἐάσαντας χρήσιμα τὸν χρόνον εἰς τὴν πρὸς αὐτοὺς ἀντιλογίαν ἀναλίσκειν, ἐπιδείξωμεν αὐτοῖς, εἰς ὅσον ἀναισθησίας ἥκουσιν αὐτοί τε καὶ οἱ προσέχοντες αὐτοῖς, ὥς τι διδάσκουσι χρήσιμον. ὁμολογήσαντες  γὰρ αὐτοὶ περὶ πράγματος ἀδυνάτου γίγνεσθαι σφίσι τοὺς λόγους, ὅμως ὥς τι γυμνάσιον αὐτοὺς μεταχειριζόμενοι, τί δή ποτε τῆς ὅλης θεραπείας οὐδ’ αὐτῷ χιλιοστῷ μέρει γυμνάζονται, πρὸς τῷ καὶ μάχεσθαι τὰς ὑποθέσεις αὐτῶν ἀλλήλαις, ἃς καὶ πρώτας σοι δίειμι; τινὲς μὲν αὐτῶν ἄχρι τῶν ε΄ καὶ ι΄ ἡμερῶν τύπων ὑποτίθενται προέρχεσθαι τὰς περιόδους· ἔνιοι δὲ μέχρι τῶν μηνιαίων· εἰσὶ δὲ καὶ οἵ μέχρι δυοῖν ἢ τριοῖν μηνοῖν. ἐγὼ δὲ τίνα μὲν ἔχω γνώμην ὑπὲρ ὧν Ἱπποκράτης εἶπεν ἐξωτέρω τῆς τοῦ τεταρταίου περιόδου, ἐν ἑτέροις ἐδήλωσα, δι’ ὧν ἐδίδασκον, ὡς ἐμαυτὸν πείθω, θεωρίαν χρήσιμον τῇ τέχνῃ· νυνὶ δὲ, οὐ γὰρ διδάξαι μοί τι πρόκειται κατὰ τόνδε τὸν λόγον, ἀλλ’ ἐξελέγξαι τοὺς μήτε τὰ χρήσιμα γράφοντας ἐπαινοῦντάς τε θεωρίαν ἀχρηστοτάτην, ἐπὶ πρώτους τρέψομαι τοὺς ἄχρι τοῦ πεντεκαιδεκαταίου τύπου γυμνασίας ἕνεκα προϊέναι φάσκοντας. ἀνατρέποντες γάρ οὗτοι τὴν ἑαυτῶν ὑπόθεσιν ἑτέραις ὑποθέσεσιν, ἃς προστιθέασιν, οὐκ αἰσθάνονται. εἰ γὰρ ὁ διὰ κ΄ καὶ γ΄ ὡρῶν παροξυνόμενος πυρετὸς οὐκ ἔστιν ἀμφημερινὸς προληπτικὸς, ἀναγκαῖον αὐτὸν εἶναι τέτταρας καὶ εἴκοσιν εἰκοστοτεταρταίους· ὥσπερ οὖν καὶ τὸν ὑστεροῦντα μίαν ὥραν εἰκοστοεκταίους εἶναι καὶ τοῦτο κ΄ τε καὶ τέτταρας. οὔκουν ἀληθεύουσιν εἰς ε΄ καὶ ι΄ ἡμέρας ἐκτείνεσθαι τοὺς τύπους ὑποτιθέμενοι. πολὺ δὲ μᾶλλον ὅταν ἤτοι τριταίαν ἢ τεταρταίαν ἢ δὴ πεμπταίαν περίοδον, ὥραις ἤτοι δυοῖν, ἢ τρισὶν ὑστερίζουσαν, ἢ προλαμβάνουσαν, εἰς ἐπιπλοκὰς τύπων ἄγωσιν ὁμοίως τοῖς εἰκοσιτέσσαρσιν εἰκοσιεκταίοις. ἵνα γὰρ ἐάσας τὴν πεντεκαίδεχ’ ἡμερῶν αὐτῶν περίοδον, ἐπὶ τὴν τοῦ πεμπταίου παραγένωμαι, κατὰ τοῦτον τὸν τύπον, ἐὰν μὲν προλάβῃ μίαν ὥραν ὁ παροξυσμὸς, εἴκοσι καὶ τέτταρες ἐννενηκονθεκταῖοι γενήσονται· ἐὰν δὲ ὑστερίζῃ, ἐννενηκοστοογδαῖοι πάλιν κδ΄, εἰ δ΄ αὐτὰ δὴ ὑποτίθενταί τινας ἤδη προλαμβάνοντας καὶ ὑστερίζοντας, ἀναιροῦσιν ἄρδην ἑαυτῶν τὴν ὑπόθεσιν. ὥστε τὸ μὲν ὁλοκλήροις ἡμέραις τε καὶ νυξὶ περιγράφεσθαι τοὺς τύπους ἀναγκαῖον αὐτοὺς ὑποτίθεσθαι, ἢ οὐκ ἔστιν τί ληροῦσιν· ὑποκειμένου δ’ αὐτοῦ, προήξουσιν εἰς μακρὸν ἀριθμὸν ἡμερῶν οἱ τύποι, κᾂν ἐκεῖνοι μὴ θέλωσι. κάλλιον οὖν ἴσως ποιοῦσιν οἱ κατ’ ἀρχὰς εὐθέως ὑποτιθέμενοι τὸν ἀριθμὸν τῶν κατὰ τύπους ἡμερῶν ἀπερίληπτον ὑπάρχειν. εἰ γὰρ καὶ μηδὲν ἄλλο λέγουσι, καλῶς γε ἐκφεύγουσι τὴν πρὸς αὐτοὺς ἀντιλογίαν, οὐχ ὥσπερ οἱ πρόσθεν ὑπὸ σφῶν αὐτῶν καταβάλλονται, μέχρι πεντεκαίδεχ’ ἡμερῶν ὑποτιθέμενοι προϊέναι τοὺς τύπους, ἀναγκαζόμενοι δὲ χρῆσθαι μὴ μόνοις τοῖς ἐκ πολλῶν δεκάδων συγκειμένοις, ἀλλὰ καὶ τοῖς ἐξ ἑκατοντάδων. ἐπεὶ τοίνυν ἀδύνατόν ἐστιν αὐτοῖς φυγεῖν τὸ πλῆθος τῶν τύπων, ἀδύνατον δήπου καὶ τὰς ἐπιπλοκὰς ἀλλήλοις ἐπιπλέκοντας φεύγειν· ἀλλὰ καθάπερ οἱ τοὺς τρεῖς τύπους ὑποθέμενοι μόνους ὑπάρχειν, ἀμφημερινὸν καὶ τριταῖον καὶ τεταρταῖον, ὅμως ἐκ τῆς ἐπιπλοκῆς αὐτῶν συζυγίας ἀποτελοῦσι πολλὰς, οὕτως ἀναγκαῖον ἔσται καὶ τούτοις ἐπιπλέκειν ἀλλήλοις ἅπαντας τοὺς τύπους. ὡς οὖν ἐπιπλέκουσι τοὺς τρεῖς, λέγοντες ἑαυτῷ μὲν πρῶτον ἕκαστον, ἔπειτ’ ἀλλήλοις, οὕτως ἀναγκαῖον ἔσται καὶ τούτους ἐπιπλέκειν. ἀρξώμεθα οὖν ἀπὸ τοῦ πεμπταίου, καὶ δείξωμεν αὐτοῖς, ὅπως ἐπιπλεκόμενος τῷδε παμπόλλας ποιήσει συζυγίας, οὐδὲν διαφέροντος, εἰ μὴ συζυγίας, ἀλλ’ ἐπιπλοκὰς ὀνομάζοι τις αὐτάς. μία μὲν γὰρ ἡ συζυγία τοιαύτη· τῇ πρώτῃ τῶν ἡμερῶν ἀρχέσθω πεμπταῖος, εἶθ’ ἡ τρίτη τε καὶ τετάρτη καθαρευέτω πυρετοῦ παντός· ἡ πέμπτη μὲν τοῦ κατὰ τὴν πρώτην ἡμέραν ἀρξαμένου πεμπταίου τὸν δεύτερον ἐχέτω παροξυσμὸν, ἡ δ’ ἕκτη τοῦ κατὰ τὴν δευτέραν· εἶτα τῆς ζ΄ καὶ τῆς η΄ καθαρευουσῶν, ἡ μὲν ἐννάτη τὸν τρίτον ἐχέτω παροξυσμὸν τοῦ πρώτου τῶν πεμπταίων, ἡ δὲ δεκάτη τοῦ δευτέρου καὶ αὐτὴ τὸν τρίτον ἐφεξῆς· καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν ὁ τέταρτος πεμπταῖος προερχέσθω, διαφέροντος οὐδὲν εἰς τὰ παρόντα, διπλοῦν πεμπταῖον ἢ δύο πεμπταίους λέγειν, ὅπερ οὐδ’ αὐτὸ συγχωροῦσιν ἅπαντες. ἑτέρα συζυγία δυοῖν πεμπταίων. ἡ πρώτη τῶν ἡμερῶν ἕνα παροξυσμὸν ἑνὸς ἐχέτω πεμπταίου (μέθοδον), δευτέρα δὲ καθαρευέτω, κᾄπειθ’ ἡ τρίτη τὸν ἕτερον πεμπταῖον ἀρχόμενον ἐχέτω, σωζομένης τῆς ἀναλογίας ἐν ταῖς ἐφεξῆς ἡμέραις. ἄλλη συζυγία δυοῖν πεμπταίοιν. ἡ μὲν πρώτη τῶν ἡμερῶν τὸν ἕτερον αὐτῶν, ἡ δὲ τετάρτη τὸν ἕτερον ἀρχόμενον ἐχέτω, τῶν ἑξῆς ἡμερῶν τὴν ἀναλογίαν φυλαττουσῶν. τετάρτη συζυγία δυοῖν πεμπταίοιν. ὁ μὲν ἕτερος αὐτῶν εἰσβαλλέτω κατὰ τὴν πρώτην νύκτα. πέμπτη συζυγία δυοῖν πεμπταίοιν. ὁ μὲν ἕτερος αὐτῶν ἀρχέσθω κατὰ τὴν πρώτην ἡμέραν, ὁ δὲ ἕτερος κατὰ τὴν δευτέραν νύκτα. ἕκτη συζυγία δυοῖν πεμπταίοιν. ὁ μὲν ἕτερος ἀρχέσθω κατὰ τὴν πρώτην ἡμέραν, ὁ δ’ ἄλλος κατὰ τὴν τρίτην νύκτα. ἑβδόμη συζυγία δυοῖν πεμπταίοιν. ὁ μὲν ἕτερος ἀρχέσθω κατὰ τὴν πρώτην ἡμέραν, ὁ δ’ ἄλλος κατὰ τὴν τετάρτην νύκτα. ταύτας οὖν τὰς ἑπτὰ συζυγίας ἐπλέξαμεν ὑποθέμενοι τὸν πρότερον τῶν πεμπταίων ἐν τῇ πρώτῃ τῶν ἡμερῶν ἄρχεσθαι. πάλιν δὲ ἄλλας ζ΄ ποιήσομεν, ὑποθέμενοι τὸν πρότερον αὐτῶν ἄρχεσθαι τῆς πρώτης νυκτός. ἐὰν οὖν οὕτως ἐπιπλέξωμεν αὐτῷ καὶ τὸν ἑκταῖον, εὔδηλον ὡς πλείους αἱ συζυγίαι γενήσονται· καὶ πλείους ἔτι, τὸν ἑβδομαῖον ἐπιπλεκόντων, καὶ πολὺ πλείους ἔτι τὸν ὀγδοαῖον, ἢ καὶ τὸν δεκαταῖον, ἵνα μηδὲν εἴπω περὶ τῶν εἰκοσταίων καὶ τριακοσταίων καὶ τεσσαρακοσταίων, ὅσοι τε πρὸς τούτοις ἐδείχθησαν ἐξ ἀνάγκης ἑπόμενοι ταῖς ὑποθέσεσιν αὐτῶν. ἐκεῖνοι μὲν οὖν ἐαθήτωσαν ἐν τῷ παρόντι, γινέσθω δὲ ἡμῖν ἄχρι τοῦ δεκαταίου. κᾀμοὶ πρῶτον ἐννόησον, ὡς νῦν ὁπότε διπλοῦς ὁ πεμπταῖος γίγνεται, τὰς συζυγίας εἴπομεν, ἐὰν δὲ τριπλοῦς γενηθείη, δῆλον ὅτι πλῆθος οὐκ ὀλίγον ἄλλο γίνεται συζυγιῶν. ἐγχωρεῖ δήπου καὶ τετραπλοῦν αὐτὸν γενέσθαι, καθ’ ἑκάστην ἡμέραν  ἑνὸς εἰσβάλλοντος παροξυσμοῦ· πενταπλοῦς δ’ ἂν γένοιτο μιχθέντος τῷ τετραπλῷ κατὰ μίαν νύκτα πέμπτου τινὸς ἐπὶ τοῖς εἰρημένοις τέτταρσι πεμπταίοις, καὶ τούτου πάλιν αὐτοῦ τετραχῶς· ἢ γὰρ ἐν τῇ πρώτῃ νυκτὶ τὴν ἀρχὴν δύναται λαβεῖν, ἤ τινι τῶν ἐφεξῆς, ἤτοι τῇ δευτέρᾳ, ἢ τῇ τρίτῃ, ἢ τῇ τετάρτῃ, ἢ τῇ πέμπτῃ. ἡ δ’ αὐτὴ ποικίλη τούτοις ἐστὶ καὶ τοὺς ἄλλους τύπους, καὶ μᾶλλον ἔτι κατὰ τοὺς πολυημερωτέρους αὐτῶν. ἐὰν οὖν ἐπιπλέκῃς ἅπασαν τὴν τοῦ πεμπταίου ποικιλίαν τῇ κατὰ τὸν ἑκταῖον, ἐννοεῖς, οἶμαι, πόσον ἔσται πλῆθος· ἐὰν δὲ μίξῃς αὐταῖς καὶ τὸν ἑβδομαῖον, ἢ ὀγδοαῖον, ἤ τινα τῶν ἐφεξῆς, εἶτα πάλιν ἐκ τεττάρων τύπων οὕτως ἀλλήλοις ἐπιπεπλεγμένων ἑτέρας ποιήσῃς συζυγίας, εἶτ’ ἐκ πέντε, κᾄπειτ’ αὖθις ἐκ πλειόνων, οἶμαί σε λογίζεσθαι πόσος ἀριθμὸς ἔσται συζυγιῶν, ἢ πόσων δεήσει βιβλίων εἰς τὴν διδασκαλίαν αὐτῶν. ὁποία γάρ τις ἡ κατ’ αὐτὰς ἔσται πλοκὴ, πειράσομαί σοι διὰ βραχέων ἐνδείξασθαι, τὴν ἀρχὴν τῷ λόγῳ τήνδε τιθέμενος. καθ’ ἕκαστον τῶν τύπων πρότερον δεήσει τὴν ποικιλίαν τῶν συζυγιῶν διελθεῖν, ὡς ἐπὶ τοῦ πεμπταίου σμικρὸν ἔμπροσθεν ἔδειξα· μετὰ ταῦτα ἐπιπλέκειν ἀλλήλαις αὐτὰς, πρῶτον μὲν μίαν συζυγίαν τῶν ἐκ τοῦ πεμπταίου, φέρε εἰπεῖν, μιᾷ τῇ κατὰ τὸν ἑκταῖον, ὡς ἐκ δυοῖν συζυγιῶν γενέσθαι τινὰ τρίτην ἄλλην, εἶθ’ ἑξῆς ἁπάσαις ἁπάσας ἐπιπλέκειν, εἶθ’ οὕτω μίαν δυοῖν, εἶτα τρισὶν, εἶτα πλείοσιν ἄχρι περ ἂν ἁπάσας τοῦ συμπλεκομένου τύπου τὰς συζυγίας ἀναμίξῃς τῇ μιᾷ· μετὰ δὲ τοῦτο δύο συζυγίας ἑνὸς τύπου τοῦ πεμπταίου μιᾷ καθ’ ἑκάστην τῶν ἄλλων μιγνύειν, εἶτα δυοῖν, ἢ τριῶν, ἢ τέτταρσιν, ἄχρι περ ἂν ἁπάσας ἀλλήλαις ἐπιπλέξῃς· εἶθ’ οὕτω πάλιν τέτταρας συζυγίας ταῖς καθ’ ἕκαστον τύπον μιγνύειν, εἶτα πέντε, κᾄπειτα ἓξ, μέχρι περ ἂν ἁπάσας τοῦ πεμπταίου τὰς συζυγίας ἁπάσαις τῶν ἄλλων ἀναμίξῃς, οὐχ ὁμοῦ δηλονότι πάντων, ἀλλ’ ἑκάστου κατὰ μόνας, οἷον τὰς τοῦ πεμπταίου ταῖς κατὰ τὸν ἑβδομαῖον, εἶθ’ οὕτω ταῖς κατὰ τὸν ὀγδοαῖον, ἢ τὸν ἐνναταῖον, ἢ τὸν δεκαταῖον, ἤ τινα τῶν ἐφεξῆς· εἶθ’ ὥσπερ τὸν πεμπταῖον ἑκάστῳ τῶν ἄλλων ἔμιξας, οὕτως ἤδη τὸν δεκαταῖον ἑκάστῳ τῶν ἄλλων μιγνύειν, ἔπειθ’ ἑβδομαῖόν τε καὶ ὀγδοαῖον καὶ τοὺς ἄλλους. ὅταν δὲ τοῦτο ποιήσῃς, ἀναγκαῖον ἔσται τριῶν τύπον τὰς συζυγίας ἁπάσας ἁπάσαις ἐπιπλέκειν, εἶτα τεττάρων, εἶτα πέντε, κᾄπειθ’ ἓξ, εἶτα ἑπτὰ, καὶ οὕτω καθεξῆς, ἄχρι περ ἂν ἁπάσας ἁπάντων ἐπιπλέξωμεν. ὅτι δ’ οὕτω πολὺ πλῆθος ἔσται τῶν συζυγιῶν, ὡς δυσαριθμήτους γενέσθαι μυριάδας, ἤδη νομίζω κατανοεῖν τινα, κᾂν ἄπειρος ἀριθμοῦ ᾖ. δύναται δὲ καὶ τοῖς ἀριθμητικοῖς κοινωσάμενος τὸν λόγον, ἀκοῦσαι παρ’ αὐτῶν τὸ πλῆθος. ἐγὼ γὰρ ἐὰν ἐπιδεικνύναι νυνὶ αὐτὸ βουληθῶ, βιβλίου μοι δεήσει μείζονος ὧν οἱ ταῦτα ληροῦντες ἔγραψαν, οὐκ ἐννοήσαντες ὅτι μυριοστοῦ μορίου τῶν ἐπιπλοκῶν ἥψαντο, καίτοι γ’ ἀδολεσχήσαντες πολλά. εἰ μὲν οὖν χρήσιμον εἶναι νομίζουσιν ἐπιπλέκειν ἀλλήλοις τύπους, ἴστωσαν τοῦ χρησίμου τὸ μυριοστὸν μέρος εὑρηκότες· εἰ δ’ ἄχρηστον, αἰδεσθέντες ἤδη ποτὲ καλέσωσιν, ἐπὶ τὰς βίβλους τὸν Ἥφαιστον, ἢ κᾂν αὐτοὶ μὴ καλέσωσιν, ὁ χρόνος αὐτὰς διαφθερεῖ. τίς γὰρ ἐξ αὐτῶν ἄλλος ἔτι γράψει; τίς δὲ οὐ καὶ ταύταις ἤδη κατατεμὼν εἰς τὰς ἐφημέρους χρείας ἀναλώσει;

Τούτων ἤδη γεγραμμένων, καί τισι τῶν ἑταίρων ἐκδιδομένων, ἢ ἀξιωσάντων ἑτέρων μαθεῖν, ὅπως ἂν ᾖ τοῦ διαγράμματος, ἐγὼ παραχρῆμα τοῖς προβάλλουσιν ἀποκρίνομαι τὸ πλῆθος τῶν τύπων. ἔστιν οὖν ἡ μέθοδος οὐχ ἑτέρου τινὸς γένους, ἀλλ’ ὑποπεπτωκυῖα τῇ προτέρᾳ. πεισθήσῃ δὲ καὶ αὐτὸς οὕτως ἔχειν ἀναμνησθεὶς πρότερον ἀεί τε πρόχειρον ἔχων τὴν μνήμην αὐτῶν, ὡς ἡμέραν ὀνομάζομεν ἐν τῷ χρόνῳ τούτῳ τὸν συγκείμενον χρόνον ἔκ τε τῆς ἡμέρας καὶ τῆς νυκτὸς, ὅπερ ἔνιοι προσαγορεύουσι νυχθήμερον. οὕτω γοῦν καὶ τὸν ἐνιαυτὸν εἶναι λέγομεν ἡμερῶν τξε΄ καὶ τετάρτου. μιᾶς μὲν οὖν ἡμέρας τέτταρες ἐπὶ ταῖς κ΄ ὧραι γίγνονται, δυοῖν δὲ ὀκτὼ καὶ τετταράκοντα, τριῶν δὲ δύο καὶ ἑβδομήκοντα· τὰ δὲ ὀνόματα τοῖς τύποις οὐκ ἀπὸ τῶν συμπληρουμένων ἡμερῶν ἐστιν, ἀλλ’ ἀπὸ τῆς ἀνταποδόσεως τοῦ παροξυσμοῦ. τριταῖον μὲν ὀνομάζομεν ᾧ διὰ τρίτης ἡμέρας ὁ παροξυσμὸς γίγνεται, δυοῖν μεταξὺ δηλονότι καὶ συμπληρωθεισῶν· τεταρταῖον δὲ ᾧ κατὰ τετάρτην, τριῶν κᾀπὶ τούτῳ μεταξὺ συμπληρουμένων ἡμερῶν, ἐπί τε τῶν ἄλλων ἀνάλογον· ὥσθ’ ὅταν εὕρῃς περίοδον τύπου τεττάρων ἡμερῶν, πεμπταῖον ἐρεῖς αὐτὸν, οὐ ταὐτὸν γάρ ἐστι διὰ πέμπτης τε παροξύνεσθαι καὶ πέντε ἡμερῶν ἔχειν περίοδον. ἐν μνήμῃ τοίνυν θέμενος ταῦτα, πάλιν ἀναμνήσθητί μοι τῆς εἰρημένης ἔμπροσθεν ἐπὶ τῷ διαγράμματι μεθόδου. λέλεκται δὲ ὅτι τὸν προβληθέντα περιοδικῶν ἀριθμὸν ὡρῶν, ὃς ἐν τῷ μεταξὺ δυοῖν ἀρχῶν γίνεται παροξυσμὸς, ἐπισκέπτου πότερον μετρεῖ τὸν ἐν τῷ διαγράμματι περιεχόμενον ἀριθμὸν ὁντιναοῦν. ἦσαν δ’ ἐκεῖνοι κατὰ πολλαπλασιασμὸν ὡρῶν εἰκοσιτεσσάρων γενόμενοι. ἵνα οὖν χωρὶς διαγράμματος αὐτὸς εὑρίσκῃς ἐπὶ δακτύλου τοῦτο, ταυτὶ πρᾶττε. τοῦ μὲν ἓξ καὶ ὀκτὼ προβληθέντος, εὐκαίρως ἂν εὕροις τέσσαρας μὲν ἀμφημερινοὺς γιγνομένους, ὅταν ἓξ ὡρῶν προβεβλημένη περίοδος ᾖ· τρεῖς δ’, ὅταν ὀκτώ. τοῦ δ’ ἑπτὰ προβληθέντος, ἤ τινος ἄλλου τῶν μὴ μετρούντων τὸν τῶν εἰκοσιτεσσάρων ὡρῶν ἀριθμὸν, ἐπισκέπτου πότερον ἔχει τι μέρος ὁ προβληθεὶς, ἢ οὐδὲν, ὅτι μὴ τὴν μονάδα. εἰ μὲν ἔχει τι παρὰ τὴν μονάδα μέρος ἄλλο, καθάπερ ὁ μὲν ἐννέα τὸ τρίτον, ὁ δὲ πεντεκαίδεκα τὸ τρίτον τε καὶ τὸ πέμπτον, ἐπισκέπτου ποῖον αὐτοῦ τῶν μερῶν κοινόν ἐστι πρὸς τὸν τῶν εἰκοσιτεσσάρων. εὐθέως γοῦν τρίτον μὲν ὁ τῶν εἰκοσιτεσσάρων ὡρῶν ἀριθμὸς ἔχει, πέμπτον δ’ οὐκ ἔχει, καθάπερ ὁ τῶν πεντεκαίδεκα. ἐὰν μὲν οὖν προβεβλημένη περίοδος ὡρῶν  ἐννέα τύχῃ, τὸ τρίτον μὲν ταύτης λήψῃ, τὸ τρίτον δὲ καὶ τῶν κδ΄ τὰ ὀκτὼ, καὶ φήσεις ὀκτὼ τύπους εἶναι τρισὶν ἡμέραις περιγραφομένους. ἠξίουν δέ σε μεμνῆσθαι τοὺς τοιούτους τύπους τεταρταίους ὀνομάζεσθαι. εἰ δὲ ιε΄ ὡρῶν περίοδος εἴη, τῶν μὲν ιε΄ τὸ τρίτον λαβὼν, πένθ’ ἡμερῶν εἶναι τοὺς τύπους, ὅπερ ἐστιν ἑκταίους· τῶν δὲ κδ΄ ἐπειδὴ καὶ τούτων τὸ τρίτον ὀκτὼ γίγνεται, τοσούτους ἐρεῖς εἶναι καὶ τοὺς ἑκταίους τύπους· εἰ δὲ μηδὲν μόριον ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς ᾖ, οἷός πέρ ἐστιν ὁ ζ΄, κδ΄ ὀγδοαίους. οὕτω δὲ καὶ εἰ ἕνδεκα ὡρῶν ᾖ προβεβλημένη περίοδος, κδ΄ εἶναι τοὺς τύπους ἑνδεκαημέρους ἐρεῖς, ὅπερ ἐστι δωδεκαταίους. οὕτω δὲ καὶ εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ἡ περίοδος ᾖ, τέσσαρας ἐπὶ τοῖς εἴκοσι τεσσαρεσκαιδεκαταίους. ὡσαύτως δὲ κᾂν μείζων ᾖ προβεβλημένη περίοδος τῶν κδ΄ ὡρῶν, εἰ μὲν μηδὲν ἔχοι μέτρον κοινὸν πρὸς τὸν τῶν κδ΄, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ τῶν ε΄ καὶ κ΄ συμβέβηκε, τέτταρας καὶ κ΄ ἐρεῖς εἶναι εἰκοστοεκταίους τύπους. (ὥσπέρ γε καὶ κ΄.) εἰ δ’ εἴη τι κοινὸν μέτρον ἀμφοῖν, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ζ΄ καὶ κ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν, ὀκτὼ φήσεις εἶναι δεκαταίους, ἐπειδὴ τῶν μὲν κ΄ καὶ δ΄ τὸ τρίτον ἐστὶν η΄, τῶν δὲκζ΄, θ΄. δῆλον γὰρ ὅτι τοῦ δεκαταίου τύπου περίοδός ἐστιν ἡμερῶν ἐννέα συμπληρουμένων, αἵτινες ὡρῶν ἀριθμὸν ἐργάζονται ἑκκαίδεκα καὶ διακοσίων, οὗ μέρος ὄγδοόν ἐστιν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἰκοσιεπτὰ ὡρῶν. ὑποπέπτωκεν οὖν ἡ μέθοδος αὕτη τῇ κατὰ τὸ διάγραμμα κοινῇ προειρημένῃ, τοσοῦτον ἐκείνης διαλλάττουσα, τῷ δύνασθαι καὶ χωρὶς τοῦ διαγράμματος εὑρεῖν τινα πρῶτον ἀριθμὸν ὡρῶν ἡμερησίαις περιόδοις μετρούμενον, οὗ μέρος ὁ προβεβλημένος ἐστίν. τὸ δὲ θεώρημα τοῦτο δέδεικται καὶ πρὸς Εὐκλείδου κατὰ τὸ τῶν στοιχείων, ἕβδομον δὲ αὐτοῦ ἐστι κεφάλαιον. τὸ δὲ μεῖζον κοινὸν ἀμφοτέρων τῶν ἀριθμῶν χρὴ λαμβάνοντας σκέψασθαι ποσάκις ἑκάτερον μετρεῖ τὸν ἀριθμὸν τὸ κοινὸν τοῦτο μέτρον, οἷον ἐπὶ τοῦ πεντεκαίδεκα καὶ τοῦ τῶν εἰκοσιτεσσάρων πρῶτον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ τῶν τριῶν ἀριθμός· οὗτος δὲ τὸν ε΄ καὶ ι΄ μετρεῖ κατὰ τὸν ε΄, τὸν δὲ εἰκοσιτέσσαρα κατὰ τὸν ὀκτώ. ἐὰν οὖν τὸν ε΄ πολλαπλασιάσῃς ἐπὶ τὸν τῶν κδ΄, ἐάν τε τὸν η΄ ἐπὶ τῶν ιε΄, τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν εὑρήσεις γινόμενον, ὥσπερ ἑκατὸν καὶ εἴκοσιν ὡρῶν, ἡμερῶν δὲ δηλονότι ε΄. καὶ διὰ τοῦτο τὸν τύπον ἑκταῖον ἐρεῖς. κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον, εἰ τρισκαίδεκα ὡρῶν ὁ προβεβλημένος ἀριθμὸς εἴη, κοινῇ μετρήσουσιν οὗτός τε καὶ ὁ τῶν κδ΄ τὸν ἐξ ἀμφοτέρων ἀλλήλων πολλαπλασίων γινόμενον, ὅσπερ ἐστιν ὁ τῶν τιβ΄. (ἐπειδὴ τῶν πρώτων καλουμένων ἀριθμῶν ἐστιν ὁ τρισκαίδεκα. προσαγορεύουσιν γὰρ οὕτως ὧν οὐκ ἔστι κοινὸν μέτρον πλὴν μονάδος.) ὁ μὲν οὖν ἀριθμὸς, ὅσον ἀμφότεροι μετροῦσιν, ἔσται τιβ΄. τρισκαιδεκάκις γὰρ οὗτος ἔχει τὰς κδ΄ ὥρας. ὁ δὲ τύπος ἡμερῶν ἔσται τελείων τριῶν καὶ ι΄, τουτέστι τεσσαρεσκαιδεκαταῖος· ἐπεὶ δὲ τετράκις τε καὶ εἰκοσάκις οὗτος μετρεῖ τὸν τῶν τιβ΄, τὸ πλῆθος τῶν τύπων ἔσται δ΄ ἐπὶ τοῖς κ΄. ἔχετε γοῦν ἤδη καὶ ταύτην ἀπόδειξιν τῆς μεθόδου, καίτοι γ’ οὐ βουληθέντος ἐμοῦ διδάσκειν ὑμᾶς ἄχρηστα πράγματα· κάλλιον γὰρ ἦν αὐτῶν ὅλως καταφρονεῖν μεμνημένους τοῦ Πυθικοῦ παραγγέλματος, ὡς φείδεσθαι προσήκει χρόνου.