δʼ ἡ τῶν τριῶν καὶ τεττάρων, τρίτη δʼ ἡ τῶν εʼ καὶ σʼ ὧν οὐδεμία ποιεῖ τετράγωνον οὔτʼ αὐτὴ καθʼ ἑαυτὴν οὔτε μετὰ τῶν ἄλλων· ἡ δὲ τῶν ζʼ καὶ ηʼ τετάρτη μέν ἐστιν, συντιθεμένη δὲ ταῖς προτέραις τριακονταὲξ τετράγωνον παρέσχεν. ἡ δὲ τῶν ὑπὸ Πλάτωνος ἐκκειμένων ἀριθμῶν τετρακτὺς ἐντελεστέραν ἔσχηκε τὴν γένεσιν, τῶν μὲν ἀρτίων ἀρτίοις διαστήμασι τῶν δὲ περιττῶν περιττοῖς πολλαπλασιασθέντων· περιέχει δὲ τὴν μὲν μονάδα, κοινὴν οὖσαν ἀρχὴν ἀρτίων καὶ περιττῶν, τῶν δʼ ὑπʼ αὐτῇ τὰ μὲν δύο καὶ τρία πρώτους ἐπιπέδους, τὰ δὲ τέτταρα καὶ ἐννέα πρώτους τετραγώνους, τὰ δʼ ὀκτὼ καὶ εἰκοσιεπτὰ πρώτους κύβους ἐν ἀριθμοῖς, ἔξω λόγου τῆς μονάδος τιθεμένης ᾗ καὶ δῆλός ἐστι βουλόμενος οὐκ ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἅπαντας ἀλλʼ ἐναλλὰξ καὶ ἰδίᾳ τάσσεσθαι τοὺς ἀρτίους μετʼ ἀλλήλων καὶ πάλιν τοὺς περισσούς, ὡς ὑπογέγραπται. οὕτως αἱ συζυγίαι τῶν ὁμοίων ἔσονται πρὸς τοὺς ὁμοίους καὶ ποιήσουσιν ἀριθμοὺς ἐπιφανεῖς κατά τε σύνθεσιν καὶ πολλαπλασιασμὸν ἐξ ἀλλήλων.

κατὰ σύνθεσιν οὕτως· τὰ δύο καὶ τὰ τρία πέντε γίγνεται, τὰ τέσσαρα καὶ τὰ ἐννέα τριακαίδεκα, τὰ δʼ ὀκτὼ καὶ εἰκοσιεπτὰ πέντε καὶ τριάκοντα. τούτων γὰρ τῶν ἀριθμῶν οἱ Πυθαγορικοὶ τὰ μὲν εʼ τροφόν, ὅπερ ἐστὶ φθόγγον, ἐκάλουν· οἰόμενοι τῶν τοῦ τόνου διαστημάτων πρῶτον εἶναι φθεγκτὸν τὸ πέμπτον· τὰ δὲ τρισκαίδεκα λεῖμμα, καθάπερ Πλάτων, τὴν εἰς ἴσα τοῦ, τόνου διανομὴν ἀπογιγνώσκοντες· τὰ δὲ πέντε καὶ τριάκοντα ἁρμονίαν, ὅτι συνέστηκεν ἐκ δυεῖν κύβων πρώτων ἀπʼ ἀρτίου καὶ περιττοῦ γεγονότων, ἐκ τεσσάρων δʼ ἀριθμῶν, τοῦ σʼ καὶ τοῦ ηʼ καὶ τοῦ θʼ καὶ ιβʼ, τὴν ἀριθμητικὴν καὶ τὴν ἁρμονικὴν ἀναλογίαν περιεχόντων. ἔσται δὲ μᾶλλον ἡ δύναμις ἐκφανὴς ἐπὶ διαγράμματος. ἔστω τὸ α β γ δ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἔχον τῶν πλευρῶν τὴν α β πέντε, τὴν δὲ α δ ἑπτά· καὶ τμηθείσης τῆς μὲν ἐλάττονος εἰς δύο καὶ τρία κατὰ τὸ· κ τῆς δὲ μείζονος εἰς τρία καὶ τέτταρα κατὰ τὸ λ, διήχθωσαν ἀπὸ τῶν τομῶν εὐθεῖαι τέμνουσαι, ἀλλήλας, κατὰ τὸ κ μ ν καὶ κατὰ τὸ λ μ ξ, καὶ ποιοῦσαι τὸ μὲν α κ μ λ ἓξ, τὸ δὲ κ β ξ μ ἐννέα, τὸ δὲ λ μ ν δ ὀκτώ, τὸ δὲ μ ξ γ ν δώδεκα τὸ δ̓, ὅλον παραλληλόγραμμον τριάκοντα καὶ πέντε τοὺς τῶν συμφωνιῶν τῶν πρώτων λόγους ἐν τοῖς τῶν χωρίων ἀριθμοῖς, εἰς ἃ διῄρηται, περιέχον. τὰ μὲν οὖν ἓξ καὶ ὀκτὼ τὸν ἐπίτριτον ἔχει; λόγον, ἐν ᾧ τὸ διὰ τεσσάρων τὰ δʼ ἓξ καὶ ἐννέα τὸν ἡμιόλιον, ἐν τὸ.. διὰ πέντε· τὰ δʼ ἓξ καὶ ιβʼ τὸν διπλάσιον, ἐν τὸ διὰ πασῶν. ἔνεστι δὲ καὶ ὁ τοῦ τόνου λόγος ἐπόγδοος ὢν ἐν τοῖς ἐννέα καὶ ὀκτώ· διὰ τοῦτο καὶ ἁρμονίαν τὸν περιέχοντα τοὺς λόγους τούτους ἀριθμὸν ἐκάλεσαν.

πάλιν δʼ ἀφʼ ἑτέρας ἀρχῆς, κατὰ πολλαπλασιασμὸν ὁ μὲν δὶς γʼ τὸν σʼ ποιεῖ, ὁ δὲ τετράκις ἐννέα τὸν τριακονταέξ, ὁ δʼ ὀκτάκις κζʼ τὸν σισʼ καὶ ἔστιν ὁ μὲν σʼ τέλειος, ἴσος ὢν τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσι καὶ γάμος καλεῖται διὰ τὴν τοῦ ἀρτίου καὶ περιττοῦ σύμμιξιν ἔτι δὲ συνέστηκεν ἔκ τε τῆς ἀρχῆς καὶ τοῦ πρώτου ἀρτίου καὶ τοῦ πρώτου περιττοῦ. ὁ δὲ λσʼ πρῶτός ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ τρίγωνος, τετράγωνος μὲν ἀπὸ τῆς ἑξάδος τρίγωνος δʼ ἀπὸ τῆς ὀγδοάδος· καὶ γέγονε πολλαπλασιασμῷ μὲν τετραγώνων δυεῖν, τοῦ τέσσαρα τὸν ἐννέα πολλαπλασιάσαντος, συνθέσει δὲ τριῶν κύβων τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ εἰκοσιεπτὰ συντεθέντα ποιεῖ τὸν προγεγραμμένον ἀριθμόν. ἔτι δʼ ἑτερομήκης ἀπὸ δυεῖν πλευρῶν, τῶν μὲν δώδεκα τρὶς γινομένων τῶν δʼ ἐννέα τετράκις. ἂν οὖν

τοιαύτας δὲ δυνάμεις τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν ἐχόντων, ἴδιον τῷ τελευταίῳ συμβέβηκε, τῷ κζʼ, τὸ τοῖς πρὸ αὐτοῦ συντιθέμενον ἴσον εἶναι πᾶσιν, ἔστι δὲ καὶ περιοδικὸς σελήνης. καὶ τῶν ἐμμελῶν διαστημάτων οἱ Πυθαγορικοὶ τὸν τόνον ἐν τούτῳ τῷ ἀριθμῷ τάττουσι διὸ καὶ τὰ τρισκαίδεκα λεῖμμα καλοῦσιν ἀπολείπει γὰρ μονάδι τοῦ ἡμίσεος. ὅτι δʼ οὗτοι καὶ τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους περιέχουσι, ῥᾴδιον καταμαθεῖν. καὶ γὰρ διπλάσιος λόγος ἐστὶν ὁ τῶν δύο πρὸς τὸ ἓν ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν, καὶ ἡμιόλιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν τριῶν ἐν ᾧ τὸ διὰ πέντε, καὶ ἐπίτριτος ὁ πρὸς; τὰ τρία τῶν τεσσάρων ἐν ᾧ τὸ διὰ τεσσάρων, καὶ τριπλάσιος ὁ πρὸς τὰ τρία τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ τετραπλάσιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν ηʼ ἐν ᾧ τὸ δὶς διὰ πασῶν· ἔνεστι δὲ καὶ ἐπόγδοος ὁ πρὸς τὰ ὀκτὼ τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ τονιαῖον. ἂν τοίνυν ἡ μονὰς ἐπίκοινος οὖσα καὶ τοῖς ἀρτίοις συναριθμῆται καὶ τοῖς περιττοῖς, ὁ μὲν ἄπας ἀριθμὸς τὸ τῆς δεκάδος παρέχεται πλῆθος· οἱ γὰρ ἀπὸ μονάδος μέχρι τῶν δέκα συντιθέμενοι πεντεκαίδεκα, τρίγωνον ἀπὸ πεντάδος· ὁ δὲ περιττὸς τὸν τεσσαράκοντα κατὰ σύνθεσιν μὲν ἐκ τῶν δεκατριῶν καὶ τῶν κζʼ γεννώμενον, οἷς τὰ μελῳδούμενα μετροῦσιν εὐσήμως οἱ μαθηματικοὶ διαστήματα, τὸ μὲν δίεσιν τὸ δὲ τόνον καλοῦντες· κατὰ τὸν πολλαπλασιασμὸν δὲ τῇ τῆς τετρακτύος δυνάμει γιγνόμενον τῶν γὰρ πρώτων τεσσάρων καθʼ αὑτὸν ἑκάστου τετράκις λαμβανομένου γίγνεται τέσσαρα καὶ ηʼ καὶ ιβʼ καὶ ισʼ · ταῦτα τὸν μʼ συντίθησι, περιέχοντα τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους· τὰ μὲν γὰρ ισʼ ἐπίτριτα τῶν δεκαδύο ἐστὶν τῶν δʼ ὀκτὼ διπλάσια, τῶν δὲ τεσσάρων τετραπλάσια· τὰ δὲ ιβʼ τῶν ὀκτὼ ἡμιόλια, τῶν δὲ τεσσάρων τριπλάσια οὗτοι δʼ οἱ λόγοι τὸ διὰ τεσσάρων καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν περιέχουσιν. ἴσος γε μήν ἐστιν ὁ τῶν τεσσαράκοντα δυσὶ τετραγώνοις καὶ δυσὶ κύβοις ὁμοῦ λαμβανομένοις· τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ τέσσαρα καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ κζʼ κύβοι καὶ τετράγωνοι μʼ γίγνονται συντεθέντες. ὥστε πολὺ τῆς Πυθαγορικῆς τὴν Πλατωνικὴν τετρακτὺν ποικιλωτέραν εἶναι τῇ διαθέσει καὶ τελειοτέραν.

ἀλλὰ ταῖς εἰσαγομέναις μεσότησι τῶν ὑποκειμένων ἀριθμῶν χώρας οὐ διδόντων, ἐδέησε μείζονας ὅρους λαβεῖν ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις· καὶ λεκτέον τίνες εἰσὶν οὗτοι. πρότερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων· ὧν τὴν μὲν ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν ἴσῳ δʼ ὑπερεχομένην ἀριθμητικὴν οἱ νῦν καλοῦσι, τὴν δὲ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην ὑπεναντίαν. ὅροι δʼ εἰσὶ τῆς μὲν ἀριθμητικῆς σʼ καὶ θʼ καὶ ιβʼ· τὰ γὰρ ἐννέα τῷ ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν τῶν ἓξ ὑπερέχει καὶ τῶν ιβʼ λείπεται· τῆς δʼ ὑπεναντίας σʼ ηʼ ιβʼ· τὰ γὰρ ὀκτὼ δυσὶ μὲν τῶν σʼ ὑπερέχει τέτταρσι δὲ τῶν ιβʼ λείπεται, ὧν τὰ μὲν δύο τῶν ἓξ τὰ δὲ τέσσαρα τῶν δώδεκα τριτημόριόν ἐστι. συμβέβηκεν οὖν ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τὸ μέσον ὑπερέχεσθαι καὶ ὑπερέχειν, ἐν δὲ τῇ ὑπεναντίᾳ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ἀποδεῖν τὸ δʼ ὑπερβάλλειν ἐκεῖ μὲν γὰρ τὰ τρία τοῦ μέσου τρίτον ἐστὶ μέρος, ἐνταῦθα δὲ τὰ δʼ καὶ τὰ βʼ τῶν ἄκρων ἑκάτερον ἑκατέρου· ὅθεν ὑπεναντία κέκληται. ταύτην δʼ ἁρμονικὴν ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῖς ὅροις τὰ πρῶτα σύμφωνα παρέχεται, τῷ μὲν μεγίστῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ